1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券:A纪念券(以下简称A券)和 B纪念券(以下
简称B券)。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动,
两种金券都有自己当时的价值,即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK(元/单位金券)。为了方便顾客,金券交易所提供了一种非常方便的交易方式:比例交易法
。比例交易法分为两个方面:(a)卖出金券:顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例,其意义为:将
 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币;(b)买入金券:顾客支付 IP 元人民币,交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券,并且,满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK;例如,假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为:
假定在第一天时,用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作:
注意到,同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工,通过较长时间的运作和行情测算,他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来,如果开始时拥有S元钱,那么N天后最多能
够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S,分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行,第K行三个实数AK、B
K、RateK,意义如题目中所述。对于100%的测试数据,满足:0<AK≤10;0<BK≤10;0<RateK≤100;MaxProfit≤1
0^9。
【提示】
1.输入文件可能很大,请采用快速的读入方式。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足:
每次买进操作使用完所有的人民币;
每次卖出操作卖出所有的金券。
 

Output

只有一个实数MaxProfit,表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

Source

分析:

引用:《从<Cash>谈一类分治算法的应用》

//原论文CDQ:O(n*logn)
//本代码:O(n*logn*logn)
#pragma GCC optimize("O2")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+;
const int inf=0x3fffffff;
const double eps=1e-;
double A[N],B[N],R[N],f[N],dp[N];
struct Point{
double x,y;
Point(double x=0.0,double y=0.0):x(x),y(y) {}
};
typedef Point Vector;
Vector operator + (Vector A,Vector B){
return Vector(A.x+B.x,A.y+B.y);
}
Vector operator - (Point A,Point B){
return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);
}
Vector operator * (Vector A,double p){
return Vector(A.x*p,A.y*p);
}
Vector operator / (Vector A,double p){
return Vector(A.x/p,A.y/p);
}
bool operator < (const Point &a,const Point &b){
return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);
}
double Dot(Vector A,Vector B){
return A.x*B.x+A.y*B.y;
}
double Cross(Vector A,Vector B){
return A.x*B.y-A.y*B.x;
}
double x(int i){
return dp[i]*R[i]/f[i];
}
double y(int i){
return dp[i]/f[i];
}
bool cmp(int i,int j){
return A[i]*B[j]>A[j]*B[i];
}
int ConvexHull(Point *p,int n,Point *Poly){
sort(p,p+n);
int m=;
for(int i=n-;i>=;i--){
while(m> && Cross(Poly[m-]-Poly[m-],p[i]-Poly[m-]) <= ) m--;
Poly[m++]=p[i];
}
return m;
}
Point P[N],Poly[N];
int tmp[N];
void cdq(int l,int r){
if(l==r){
dp[l]=max(dp[l],dp[l-]);
return ;
}
int mid=l+r>>;
cdq(l,mid);
int cnt=;
for(int i=l;i<=mid;i++)
P[cnt++]=Point(x(i),y(i));
cnt=ConvexHull(P,cnt,Poly);
for(int i=mid+;i<=r;i++)
tmp[i]=i;
sort(tmp+mid+,tmp+r+,cmp);
int i=,j=mid+;
while(j<=r){
while(i<cnt-&&(Poly[i].y-Poly[i+].y)*B[tmp[j]]<-1.0*(Poly[i].x-Poly[i+].x)*A[tmp[j]]){
i++;
}
dp[tmp[j]]=max(dp[tmp[j]],A[tmp[j]]*Poly[i].x+B[tmp[j]]*Poly[i].y);
j++;
}
cdq(mid+,r);
}
int main(){
int n,s;
cin>>n>>s;
for(int i=;i<=n;i++){
scanf("%lf %lf %lf",&A[i],&B[i],&R[i]);
f[i]=A[i]*R[i]+B[i];
}
memset(dp,,sizeof dp);
dp[]=1.0*s;
cdq(,n);
double ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
ans=max(ans,dp[i]);
printf("%.3lf\n",ans);
return ;
}

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