群论 - Group Theory

群的定义

若非空集合\(G\)和定义在\(G\)上的二元运算\(⋅\)构成的代数结构\((G,⋅)\)，满足：

封闭性：\(\forall a,b\in G\)，有\(a⋅b\in G\)。
结合律：\(\forall a,b,c\in G\)，有\((a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\)。
单位元：\(\exists e\in G\)，满足\(\forall a\in G\)有\(a⋅e=a\)。
逆元：\(\forall a\in G\)，\(\exists b\in G\)使得\(a⋅b=e\)，记\(a^{-1}=b\)。

则代数结构\((G,⋅)\)是一个群（group）。
常见的群有：整数、有理理数、实数加法群；模\(n\)意义下的加法群；模\(n\)意义下与\(n\)互质的数构成的乘法群；置换群，群的元素是一个双射\(f\)，运算为映射的复合。

拉格朗日定理

对于群\((G,⋅)\)，若有\(G'\subset G\)且\((G',⋅)\)也是群，则有\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。

证明：
记\(G_a\)表示集合\(G\)的陪集\(\{x⋅a|x\in G\}\)，那么易知\(|G_a|=|G|\)。
对于\(a,b\in G\)，若有\(G'_a\cap G'_b \neq \emptyset\)，则\(\exists x,y\in G'\)满足\(x⋅a=y⋅b ⇔ a=x^{-1}⋅y⋅b\)。
那么\(\forall z\in G'\)，有\(z⋅a=z⋅(x^{-1}⋅y⋅b)=(z⋅x^{-1}⋅y)⋅b\)。易知\(z⋅x^{-1}⋅y \in G'\)，所以\(G'_a\)中的每一个元素都存在于\(G'_b\)中，即\(G'_a=G'_b\)。
于是可知\(G'\)的陪集之间只有两种关系，互不相交或完全相同。而由于\(e\in G'\)，所以\(G'\)的所有陪集的并就是\(G\)。又由于陪集的大小等于原集合，所以\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。

由拉格朗日定理可以推出欧拉定理\(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\)。

证明：
设集合\(S=\{a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)}\}\)，其中\(gcd(a_i,n)=1\)。\(S\)与模乘法形成的代数结构\((S,\times)\)是群。
那么设\(S_i=\{1,a_i,a_i^2,a_i^3...\}\)，易知\((S_i,\times)\)是\((S,\times)\)的子群，即\(|S_i||\varphi(n)\)。而\(a_i^{|S_i|}\equiv 1\)，所以\(a_i^{\varphi(n)}\equiv 1\)。

Burnside引理

如果对于\(x,y\in M\)，\(∃f\in G\)使得\(f(x)=y\)，那我们就称\(x\)和\(y\)是本质相同的。定义集合\(M\)关于置换群\(G\)的轨道数为\(M\)中本质不同的元素个数。
若对于\(x\in M\)和置换\(f\)有\(f(x)=x\)，则称\(x\)是\(f\)的一个不动点。
集合\(M\)关于置换群\(G\)的轨道数，等于\(G\)中每个置换下不动点的个数的算术平均数。

Polya定理

每一个置换都可以表示成若干个轮换。轮换中的元素互相交换且不影响该轮换外的元素。例如\(f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&1&4&6&5&3\end{pmatrix}\)就是\(\{1,2\},\{3,4,6\},\{5\}\)的轮换，其轮换数为\(3\)。记\(c(f)\)为置换\(f\)的轮换数。
设\(G\)是\(n\)个对象的一个置换群，用\(m\)种颜色为这\(n\)个对象上色，则本质不同的染色方案数为\(\dfrac{\sum_{f\in G}m^{c(f)}}{|G|}\)。
其实Polya定理就相当于说置换\(f\)的不动点个数为\(m^{c(f)}\)。因为每个轮换必须填相同颜色才能在经过\(f\)后保持不变，所以不动点个数为\(m^{c(f)}\)。