数理统计4：均匀分布的参数估计，次序统计量的分布，Beta分布

接下来我们就对除了正态分布以外的常用参数分布族进行参数估计，具体对连续型分布有指数分布、均匀分布，对离散型分布有二项分布、泊松分布几何分布。

今天的主要内容是均匀分布的参数估计，内容比较简单，读者应尝试一边阅读，一边独立推导出本文的结论。由于本系列为我独自完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！

目录

• Part 1：均匀分布的参数估计
• Part 2：次序统计量
• Part 3：均匀分布次序统计量与$\beta$分布

Part 1：均匀分布的参数估计

一般说来，离散分布似乎比连续分布好讨论一些，但是对于参数估计问题，由于我们此前接触的正态分布是连续的，具有样本联合密度函数，所以大家也许对具有联合密度的分布会更熟悉。

对于均匀分布\(U(a,b)\)，它有两个参数：下界和上界。为找到其充分统计量，需写出其样本联合密度，不妨先写出总体密度：

\[f_1(x)=\frac{1}{b-a}I_{a<x<b},
\]

注意，要讨论均匀分布的密度，示性函数是必不可少的（不过在讨论分布函数时倒往往不用示性函数，希望你在实践中能知道为什么），否则会给结论的得出造成障碍。接下来是联合密度函数：

\[\begin{aligned}
f(\boldsymbol{x})&=\frac{1}{(b-a)^n}I_{a<x_1<b}\cdots I_{a<x_n<b}\\
&=\frac{1}{(b-a)^n}I_{a<x_{(1)}<x_{(n)}<b}.
\end{aligned}
\]

这里的关键技巧在于，把\(n\)个条件\(I_{a<x_i<b}\)整合成

\[I_{a<x_{(1)}<x_{(n)}<b},
\]

这样就将\(n\)个样本压缩成两个关键的统计量：\(X_{(1)},X_{(n)}\)，从而由因子分解定理，\((X_{(1)},X_{(n)})\)是\((a,b)\)的充分统计量，因此对\(a,b\)的估计，就是对\((X_{(1)},X_{(n)})\)作调整，使之成为\(a,b\)的估计量。

对均匀分布的表示方法还有一种：\(U(a,a+r)\)，\(r>0\)。这种表示往往不关心\(a\)的值，而只是关心均匀分布的区间有多广。这种形式下，样本的联合密度函数是

\[f(\boldsymbol{x})=\frac{1}{r^n}I_{x_{(n)}-x_{(1)}<r}\cdot I_{a<x_{(1)}}.
\]

由因子分解定理，此时样本极差：\(R=R(\boldsymbol{X})=X_{(n)}-X_{(1)}\)是\(r\)的充分统计量。

现在是无偏调整环节，为了使参数估计量是无偏的，就得求\(X_{(1)}\)和\(X_{(n)}\)的期望，因此不可避免地需要讨论它们的分布。对于一般的次序统计量我们还没有求过分布，但是样本最小、最大值的分布，在概率论里已经讨论过（不过当时可能大家都没记吧），只要用逻辑关系就可以得出。

不过，次序统计量终究是比较重要的，它的分布值得单独说一下。因此，我们先讨论一般情况下次序统计量的分布，再具体到均匀分布，得出\(a,b\)的无偏估计量。

Part 2：次序统计量

先给出次序统计量的定义，虽然大家可能都已经很明确了：如果\(X_1,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\sim F\)的简单随机样本，按大小顺序排列为\(X_{(1)}\le \cdots \le X_{(n)}\)后，\((X_{(1)},\cdots,X_{(n)})\)为样本的次序统计量。

必须明白的是，次序统计量也是统计量，而且是一个\(n\)维随机向量，只是我们一般研究的是其中一两个向量的边际分布。并且，\(X_{(1)}\)和\(X_1\)的分布肯定是不同的，这是因为加上了次序性以后，随机向量内部出现了结构，从而改变了分布。下面是对\(U(0,1)\)中抽样的1000次模拟，每一次模拟样本容量为5，两图分别是\(X_1\)的分布与\(X_{(1)}\)的分布。

rm(list = ls())
x <- c()
xmin <- c()
for (i in 1:1000){
  u01 <- runif(5)
  x[i] <- u01[1]
  xmin[i] <- sort(u01)[1]
}

split.screen(c(1, 2))

screen(1)
hist(x, main = "X1的分布")

screen(2)
hist(xmin, main = "最小值的分布")

现在，对一般的分布函数\(F\)，\(X_1,\cdots,X_n\stackrel{\mathrm{i.i.d.}}\sim F\)，我们来探讨次序统计量\(X_{(k)}\)的密度\((1\le k\le n)\)，记此密度为\(p_{k}(x)\)。求次序统计量的密度函数，最好采用一种微元的处理方式，即

\[p_k(x)=F_k'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F_k(x+\Delta x)-F_k(x)}{\Delta x},
\]

单独分析极限以内的部分，\(F_k(x+\Delta x)-F_k(x)\)意味着\(X_{(k)}\)落在\(x\)和\(x+\Delta x\)之间，这相当于\(n\)个样本中，有\(k-1\)个落在\(x\)之前，\(n-k\)个落在\(x+\Delta x\)之后，剩下一个刚好落在区间内。由于各个样本之间出现概率是均等的，所以考虑到轮换性，可以考虑\(X_1,\cdots,X_{k-1}<x\)，\(X_{k+1},\cdots,X_n>x+\Delta x\)，恰好有\(X_k\in[x,x+\Delta x]\)，再乘上\(C_{n}^{k-1}C_{n-k+1}^{n-k}\)即可。所以

\[\quad F_k(x+\Delta x)-F_k(x)=C_{n}^{k-1}C_{n-k+1}^1[F(x)]^{k-1}[1-F(x+\Delta x)]^{n-k}[F(x+\Delta x)-F(x)],
\]

而恰好

\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=p(x),
\]

所以代回\(p_k(x)\)，有

\[p_k(x)=n!p(x)\cdot\frac{[F(x)]^{k-1}}{(k-1)!}\frac{[1-F(x)]^{n-k}}{(n-k)!}.
\]

这就得到了\(X_{(k)}\)的密度。特别代入\(k=1\)和\(k=n\)时，有

\[p_1(x)=n[1-F(x)]^{n-1}p(x)\Rightarrow F_1(x)=1-[1-F(x)]^n;\\
p_n(x)=n[F(x)]^{n-1}p(x)\Rightarrow F_n(x)=[F(x)]^n.
\]

之前我们在讨论最小值、最大值的分布时，总是从逻辑关系先得出分布函数，再求导得出密度函数；这里的思路却刚好相反，先导出密度函数，再积分得到分布函数。

采用这种微元的思想，导出任意个次序统计量的联合分布也很简单。考虑两个次序统计量\((X_{(k)},X_{(l)})\)的分布且假定\(k\le l\)，则同理有

\[p_{k,l}(x,y)=\lim_{\Delta x\to 0 \\
\Delta y\to 0}\frac{F(x+\Delta x,y+\Delta y)-F(x,y)}{\Delta x\Delta y}.
\]

分子也可以看成有\(k-1\)个位于\(x\)之前，\(l-k-1\)个位于\(x,y\)之间，\(n-l\)个位于\(y\)之后，但这里还要注意\(x<y\)。所以通过相似的计算，可以得出

\[p_{k,l}(x,y)=n!p(x)p(y)\cdot\frac{[F(x)]^{k-1}}{(k-1)!}\cdot\frac{[F(y)-F(x)]^{l-k-1}}{(l-k-1)!}\cdot \frac{[1-F(y)]^{n-k}}{(n-k)!}I_{x<y}.
\]

注意到次序统计量密度函数的规律性的话，应该很容易背出它的形式，而不需要每次都推导一遍。

应当注意到，将样本的取值范围通过\(x,y,\cdots\)分成若干截，按照次序统计量的特性将样本分配到每个点、每个区间上，每个区间的样本数量对应着当前段取值的概率，也对应着样本在区间内部的轮换可能性。

本段只是次序统计量记忆的一个技巧，具体细节可以由读者自己完善。

一般研究到两个样本的边际分布就完全够用了，具体的数字特征还有赖于具体的分布函数来计算，不过既然我们研究的是均匀分布，就用均匀分布来讨论一下好了。

Part 3：均匀分布次序统计量与\(\beta\)分布

我们不需要讨论任何均匀分布\(U(a,b)\)，只需要讨论其中的代表：\(U(0,1)\)，这是因为如果\(U\sim U(0,1)\)，则\((b-a)U+a\sim U(a,b)\)（请读者自己尝试证明这一点，不要想得太复杂哦）。

\(U(0,1)\)的分布函数\(F(x)\)和密度函数\(p(x)\)分别是

\[p(x)=I_{0<x<1},\\
F(x)=x,\quad (0\le x\le 1).
\]

所以\(X_{(k)}\)的密度函数代入计算，是

\[p_k(x)=n!\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}\frac{(1-x)^{n-k}}{(n-k)!}I_{0<x<1}=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}x^{k-1}(1-x)^{n-k+1-1}I_{0<x<1}.
\]

前面那个分数，恰好是欧拉函数中的\(\beta\)函数的倒数：

\[\beta(k,n-k+1)=\frac{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}{\Gamma(n+1)},
\]

因此有

\[p_k(x)=\frac{1}{\beta(k,n-k+1)}x^{k-1}(1-x)^{n-k+1-1}I_{0<x<1}.
\]

暂时你可能不会对这个形式的密度函数有很大的触动，但是以后我们会经常跟这个密度函数打交道，我们称之为\(\beta\)分布。形式上，\(\beta\)分布的支撑集是\((0,1)\)，即\(\beta\)分布只会在\((0,1)\)上取值，并且忽略其正则化常数后，剩下的部分呈现的形式是\(x^{a-1}(1-x)^{b-1}\)，对这部分积分，可以得到

\[\int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\mathrm{d}x=\beta(a,b).
\]

现在，我们可以给出\(\beta\)分布的定义了：称\(X\sim \beta(a,b)\)，如果\(X\)具有如下的密度函数：

\[p(x)=\frac{1}{\beta(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}.
\]

可以看到，\(\beta\)分布最重要的特征就是，其核（去掉正则化系数的剩余部分）是\(x\)和\((1-x)\)的任意次方。

同时，我们可以得出一个重要结论：若\(X_{(k)}\)是\(U(0,1)\)的第\(k\)个次序统计量，则

\[X_{(k)}\sim \beta(k, n-k+1).
\]

下面是对\(U(0,1)\)抽取5个样本时，\(X_{(2)}\)的分布模拟，蓝色的是样本分布，红色的是理论分布。

rm(list = ls())
xmin <- c()
for (i in 1:10000){
  u01 <- runif(5)
  xmin[i] <- sort(u01)[2]
}
plot(density(xmin), main = "5样本中X_{(2)}的分布", col = 'blue')  # 绘制核密度函数

y <- seq(0, 1, 0.0001)
beta24 <- dbeta(y, 2, 4)  # 绘制Beta(2, 4)的密度函数
lines(y, beta24, col = 'red')

现讨论\(\beta\)分布的数字特征，以便以后对\(X_{(1)},X_{(n)}\)作无偏调整。由于\(\beta\)分布核的特殊形式，其期望和方差都很好计算。设\(X\sim \beta(a,b)\)，则

\[\begin{aligned}
\mathbb{E}(X)&=\int_0^1 \frac{1}{\beta(a,b)}x^a(1-x)^{b-1}\mathrm{d}x\\
&=\frac{\beta(a+1,b)}{\beta(a,b)}\int_0^1\frac{1}{\beta(a+1,b)}x^{a+1-1}(1-x)^{b-1}\mathrm{d}x\\
&=\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b)/\Gamma(a+b+1)}{\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)}\\
&=\frac{a}{a+b}.
\end{aligned}
\]

这里第三个等号成立是因为积分内部是\(\beta(a+1,b)\)的密度函数，其完全积分为1。同理方差为

\[\begin{aligned}
\mathbb{E}(X^2)&=\int_0^1\frac{1}{\beta(a,b)}x^{a+1}(1-x)^{b-1}\mathrm{d}x\\
&=\frac{\beta(a+2,b)}{\beta(a,b)}\\
&=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac{\Gamma(a+2)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+2)}\\
&=\frac{(a+1)a}{(a+b+1)(a+b)},\\
\mathbb{D}(X)&=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2\\
&=\frac{a(a+1)}{(a+b+1)(a+b)}-\frac{a^2}{(a+b)^2}\\
&=\frac{a(a+1)(a+b)-a^2(a+b+1)}{(a+b+1)(a+b)^2}\\
&=\frac{ab}{(a+b+1)(a+b)}.
\end{aligned}
\]

具体到\(X_{(k)}\sim \beta(k,n-k+1)\)，有

\[\mathbb{E}(X_{(k)})=\frac{k}{n+1},\quad \mathbb{D}(X_{(k)})=\frac{k(n-k+1)}{(n+1)(n+2)}\to 0.
\]

特别对\(X_{(1)},X_{(k)}\)，有

\[\mathbb{E}(X_{(1)})=\frac{1}{n+1},\quad \mathbb{E}(X_{(k)})=\frac{n}{n+1}.
\]

对于\(U(a,b)\)，其样本最小值和最大值记作\(Y_{(1)}\)和\(Y_{(n)}\)，则有

\[Y_{(k)}=(b-a)X_{(k)}+a,\\
\mathbb{E}(Y_{(1)})=\frac{an+b}{n+1}\to a,\\
\mathbb{E}(Y_{(n)})=\frac{bn+a}{n+1}\to b.
\]

所以对均匀分布而言，样本最小值、样本最大值分别是下界、上界的渐进无偏估计。由于其方差趋近于0，也容易证明，样本最小值、样本最大值是弱相合估计。

现在讨论总体极差的估计，在上面的讨论中已经知道总体极差应当用样本极差来估计。对于\(X\sim U(0,1)\)，令\(R=X_{(n)}-X_{(1)}\)，为讨论其分布，需要作一个简单变换：

\[U=X_{(1)},\\
V=X_{(n)}-X_{(1)}.
\]

这个变换的Jacobi行列式绝对值为\(|J|=1\)，所以

\[\begin{aligned}
p(u,v)&=p_{1,n}(x_{(1)},x_{(n)}) \\
&=n(n-1)(x_{(n)}-x_{(1)})^{n-2}I_{0<x_{(1)}<x_{(n)}<1} \\
&=n(n-1)v^{n-2}I_{0<u<u+v<1}.
\end{aligned}
\]

欲求\(V\)的边际分布，考虑积分范围是\(u\in(0,1-v)\)，所以

\[p_v(v)=I_{0<v<1}\int_0^{1-v} n(n-1)v^{n-2}\mathrm{d}u=n(n-1)(1-v)v^{n-2}I_{0<v<1}.
\]

这就是\(R\)的密度函数：

\[p_R(x)=n(n-1)(1-x)x^{n-2}I_{0<x<1},
\]

求其期望，有

\[\begin{aligned}
\mathbb{E}(R)&=n(n-1)\int_0^1 x(x^{n-2}-x^{n-1})\mathrm{d}x\\
&=n(n-1)\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)\\
&=\frac{n-1}{n+1}.
\end{aligned}
\]

而\(Y_{(n)}-Y_{(1)}=(a+r-a)(X_{(n)}-X_{(1)})=rR\)，所以

\[\mathbb{E}(Y_{(n)}-Y_{(1)})=\frac{r(n-1)}{n+1}\to r,
\]

故样本极差为\(r\)的渐进无偏估计，可以修正为无偏估计：

\[R_n^*=\frac{n+1}{n-1}r.
\]

对下表中每个\(n\)进行10000次\(U(3,8)\)模拟，得到样本极差的均值如下：

\(n\)	5	10	15	20	30	40	50	100	200
\(\mathrm{mean}(R_n)\)	3.3475	4.0927	4.3769	4.5258	4.6764	4.7538	4.8055	4.9024	4.9505
\(\mathbb{E}(R_n)\)	3.3333	4.0909	4.3750	4.5238	4.6774	4.7561	4.8039	4.9010	4.9502

rm(list = ls())
nlst <- c(5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 100, 200)
meanlst <- c()
for (j in 1:9){
  R <- c()
  for (i in 1:10000){
    minmax <- range(runif(nlst[j], 3, 8))
    R[i] <- minmax[2] - minmax[1]
  }
  meanlst[j] <- mean(R)
}

meanlst

最后，我们绕了一个大圈，还没有说今天的结论呢。既然今天我们的主要目标是对\(U(a,b)\)进行参数估计，我们有以下的结论：

1. 对于均匀分布\(U(a,b)\)，\((X_{(1)},X_{(n)})\)是\((a,b)\)的充分统计量。
2. \(X_{(1)}\)是\(a\)的渐进无偏估计，\(X_{(n)}\)是\(b\)的渐进无偏估计。总有\(\mathbb{E}(X_{(1)})>a,\mathbb{E}(X_{(n)})<b\)。
3. 样本极差是总体极差的渐进无偏估计，总有\(\mathbb{E}(R)<b-a\)。

这些估计量的有偏性来源往往很直观，因为不管如何抽取，样本都不可能比\(a\)小，比\(b\)大，所以无论抽取次数多少，\(X_{(1)}\)的支撑总在\(a\)的右侧，\(X_{(n)}\)的支撑总在\(b\)的左侧，所以期望必定不是\(a,b\)。极差也同理，不管抽取次数多少，期望总是小于实际极差的。

思考：能不能利用\((X_{(1)},X_{(n)})\)给出\(a,b\)的无偏估计量？

此外，我们今天还认识了一个非常重要的分布：\(\beta\)分布。如果\(X\sim \beta(a,b)\)，则其密度函数为

\[p_X(x)=\frac{1}{\beta(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}I_{0<x<1}.
\]

它的特点是：支撑集为\((0,1)\)，核为\(x^k(1-x)^l\)。特别地，我们指出如果\(X_1,\cdots,X_n\)是来自\(U(0,1)\)的简单随机样本，则

\[X_{(k)}\sim \beta(k,n-k+1).
\]

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今天我们花了大量的篇幅讨论均匀分布的点估计问题，明天我们就转向另一个连续分布：指数分布。同时，明天我们将看到另一个欧拉函数导出的分布：\(\Gamma\)分布。