【题解】切割多边形 [SCOI2003] [P4529] [Bzoj1091]

【题解】切割多边形 [SCOI2003] [P4529] [Bzoj1091]

传送门：切割多边形 \(\text{[SCOI2003] [P4529]}\) \(\text{[Bzoj1091]}\)

【题目描述】

给出一个 \(Mx*My\) \((0 < Mx,My < 500)\) 的矩形，现要用 \(n\) \((3 \leqslant n \leqslant 8)\) 条直线依次对其进行切割，将它变成凸 \(n\) 边形，每次切割的长度为该直线在剩下的矩形内部的部分的长度，求最短的切割线总长度。

【分析】

一道计算几何膜您题。

由于 \(n\) 比较小，可以 \(O(n!)\) 枚举切割线的顺序，最后计算总长度取最小值就行了。

但有个非常麻烦的问题：如何求每次加入直线的切割线长度？

考虑用一个栈储存当前已经加入的直线（上下左右四个边界会在最初时加入），如果现在要加入直线 \(p_1-p_2\)（这里为方便描述，设 \(p_1\) 在左边，\(p_2\) 在右边），先求出它与栈中所有直线的交点，然后在这些交点中分别找到：\(p_1\) 左边距离 \(p_1\) 最近的点 \(ans_1\) 和 \(p_2\) 右边距离 \(p_2\) 最近的点\(ans_2\)，易知 \(len(ans_1,ans_2)\) 即为当次切割线长度。

图就不画了，自己领会吧。。。

【Code】

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LD double
#define LL long long
#define Re register int
#define Vector Point
using namespace std;
const int N=20;
const LD eps=1e-9,inf=1e9;
inline int dcmp(LD a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}//处理精度
inline LD Abs(LD a){return a*dcmp(a);}//取绝对值
struct Point{
    LD x,y;Point(LD X=0,LD Y=0){x=X,y=Y;}
    inline void in(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
    inline void out(){printf("%.2lf %.2lf\n",x,y);}
}p1,p2,p3,p4,P[N];
struct Line{
    Point a,b;int id;LD k;Line(Point X=Point(0,0),Point Y=Point(0,0),int ID=0,LD K=0){a=X,b=Y,id=ID,k=K;}
    inline void sakura(){k=(!dcmp(a.x-b.x))?0.0:(a.y-b.y)/(a.x-b.x);}
    inline bool operator<(Line O)const{return k<O.k;}
}L[N],Q[N];
inline LD Dot(Vector a,Vector b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//点积
inline LD Cro(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//叉积
inline LD Len(Vector a){return sqrt(Dot(a,a));}//模长
inline Point operator+(Point a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
inline Vector operator-(Point a,Point b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
inline Vector operator*(Vector a,LD b){return Vector(a.x*b,a.y*b);}
inline Point cross_LL(Point a,Point b,Point c,Point d){//两直线AB,CD的交点
    Vector x=b-a,y=d-c,z=a-c;
    return a+x*(Cro(y,z)/Cro(x,y));//点A加上向量AF
}
int n,t,a[N],vis[N];LD Mx,My,Ans=inf;
inline void dfs(Re g,LD ans){
    if(g>n){Ans=min(Ans,ans);return;}
    for(Re i=1;i<=n;++i)
        if(!vis[i]){
            Point p1=L[i].a,p2=L[i].b,ans1=Point(inf,inf),ans2=Point(inf,inf);
            //ans1:在p2-p1延长线上距离p1最近的点
            //ans2:在p1-p2延长线上距离p2最近的点
            for(Re j=1;j<=t;++j){
                Point b=cross_LL(p1,p2,Q[j].a,Q[j].b);//获取直线L[i]与Q[i]的交点b
                if(dcmp(Len(p1-b)-Len(p2-b))<0&&dcmp(Len(p1-ans1)-Len(p1-b))>0)ans1=b;//如果 len(b,p1)<len(b,p2) 且 len(p1,b)<len(p1,ans1)
                if(dcmp(Len(p2-b)-Len(p1-b))<0&&dcmp(Len(p2-ans2)-Len(p2-b))>0)ans2=b;//如果 len(b,p2)<len(b,p1) 且 len(p2,b)<len(p2,ans2)
            }
            vis[i]=1,Q[++t]=L[i];
            dfs(g+1,ans+Len(ans1-ans2));//加上len(ans1,ans2)
            vis[i]=0,--t;
        }
}
int main(){
//  freopen("123.txt","r",stdin);
    scanf("%lf%lf%d",&Mx,&My,&n);
    for(Re i=1;i<=n;++i)P[i].in();
    for(Re i=1;i<=n;++i)L[i]=Line(P[i],P[i<n?i+1:1],i);//获取n条直线
    p1=Point(0,0),p2=Point(0,My),p3=Point(Mx,My),p4=Point(Mx,0);//四个顶点
    Q[++t]=Line(p1,p2),Q[++t]=Line(p2,p3),Q[++t]=Line(p3,p4),Q[++t]=Line(p4,p1);//先将四个边界入队
    dfs(1,0.0);
    printf("%.3lf\n",Ans);
}