题解-CF1401E Divide Square

题面

CF1401E Divide Square

给一个正方形平面边长为 \(10^6\)，给 \(n\) 条横线段和 \(m\) 条竖线段，每条线段都与正方形边缘相交且一条直线上不会有两条线段，求被线段划分后有几个块。

数据范围：\(0\le n,m\le 10^5\)，\(0<x,y<10^6\)，\(0\le (lx<rx),(ly<ry)\le 10^6\)。

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蒟蒻语

前天打小号 \(30\) 分钟切了 \(\tt ABCD\) 以为能 \(\tt AK\)，结果 \(\tt E\) 少看了条件开始硬钢幸得爆零。

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蒟蒻解

结论：\(ans=(\)内部交点数 \(p)+(10^6\) 长度线段数 \(s)+1\)。

这个结论应该比较好找，可以多画几个图找规律。

蒟蒻本来想了一个很炫酷的证明，但被证伪了，看个逊一点的吧……

证明：

对于 \(s=0\) 的情况，所有线段都贴且仅贴一边又互相不重合，所以每多一个交点多一个块易证。

对于 \(s>0\) 的情况，如果一条长度为 \(10^6\) 的线段不穿过线段，那么固然把正方形分成两块多一块。否则从一条被穿过的线段把它拆成两条线段考虑，答案也会 \(+1\)。

综上，\(ans=p+s+1\)。

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至于实现，可以用树状数组扫描线，代码中给出一种新奇的树状数组写法。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define x first
#define y second
#define be(a) (a).begin()
#define en(a) (a).end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
#define R(i,a,b) for(int i=(a),I=(b);i<I;i++)
#define L(i,a,b) for(int i=(a),I=(b);i>I;i--)
const int iinf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=1e5,M=1e6;
int n,m; ll ans=1;
vector<int> d;
struct segment{
	int op,y,l,r;
	segment(){}
	segment(int _op,int _y,int _l,int _r){
		op=_op,y=_y,l=_l,r=_r;
	}
};
vector<segment> a;

//FenwickTree
vector<int> c;
void add(int i,int v){for(;i<sz(c);i|=i+1) c[i]+=v;}
int sum(int i){int v=0;for(;~i;(i&=i+1)--) v+=c[i];return v;}

//Main
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	R(i,0,n){
		int y,l,r; cin>>y>>l>>r;
		if(r-l==M) ++ans;
		d.pb(l),d.pb(r),a.pb(segment(0,y,l,r));
	}
	R(i,0,m){
		int x,l,r; cin>>x>>l>>r;
		if(r-l==M) ++ans;
		d.pb(x),a.pb(segment(1,l,x,1)),a.pb(segment(1,r,x,-1));
	}
	sort(be(a),en(a),[&](segment p,segment q){
		if(p.y!=q.y) return p.y<q.y;
		return p.op*p.r>q.op*q.r;
	});
	sort(be(d),en(d)),d.erase(unique(be(d),en(d)),en(d));
	c.assign(sz(d),0);
	// c.assign(M+1,0);
	for(auto u:a){
		if(u.op){
			int i=lower_bound(be(d),en(d),u.l)-be(d);
			add(i,u.r);
		} else {
			int l=lower_bound(be(d),en(d),u.l)-be(d);
			int r=lower_bound(be(d),en(d),u.r)-be(d);
			ans+=sum(r)-sum(l-1);
		}
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！