清北澡堂 Day2 下午 一些比较重要的数论知识整理

1.欧拉定理

设x1,x2,.....,x_k,k=φ(n)为1~n中k个与n互质的数

结论一：ax_i与ax_j不同余

结论二：gcd(ax_i,n)=1

结论三：x1,x2,...,x_k和ax1,ax2,...,ax_k一一对应

结论四：a^φ(n)≡1(mod n)

计算：φ(m)=m*(1-1/p1)*......*(1-1/p_i)

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请证明:如果n为素数，取a<n，设n-1=d*2^r,则要么a^d≡1（mod n）要么存在0<=i<r,使得a^{d*2^t}≡-1(mod n)，要么存在0<=i<r，使得a^{d*2^t}≡-1(mod n)

证：由费马小定理得a^n-1≡1(mod n),已知n-1=d*2^r

∴a^{d*2^r}≡1(mod n)

∴a^{d*2^r}-1≡0(mod n)

由平方差公式知：(a^{d*2^(r-1)})(a^{d*2^(r-1)})≡0(mod n)

∴原式=(a^d-1)(a^d+1)(a^d*2+1)(a^{d*2^2}).......(a^{d*2^(r-1)}+1≡0(mod n)

2.线性求逆元

求1~n所有数 对p的逆元（p为质数）

为了减少时间，我们要尽量利用已经求出来的逆元进行计算，也就是说，当求i的逆元时，1~i-1的逆元已经求完了

设1<=i<=n

∵p/i=k......r

∴p=ik+r

ik+r≡0 (mod p)

kr^-1+i^-1≡0 (mod p)

i^-1≡-kr^-1 (mod p)

最后一步把k和r带进去就可以得到

卡n log n的复杂度用到

3.BSGS算法（baby-step  gaint-step）

问题：求a^x≡b (mod m)的最小正整数解（m为质数）

如果枚举：复杂度为O(m)

考虑分块

能否从其中某一行找到答案
从第二行找答案等价于第一行里面是否存在

从第三行找答案等价于第二行里面是否存在

先暴力出第一行，再排序二分，这样求每一行都可以化成第一行

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int size,a,b,p,z[];
bool erfen(int x)//二分查找答案
{
    int l=,r=size;
    while (l+!=r)
    {
        int m=(l+r)>>;
        if (z[m]>=x) r=m;
        else l=m;
    }
    return z[r]==x;
}

int powmod(int x,int y,int z)
{
    int i=x;
    int s=;
    while(y)
    {
        if(y&)
        {
            s=(s*i)%z;
        }
        i=(i*i)%z;
        y>>=;
    }
    return s%z;
}

int bsgs(int a,int b,int p)//bsgs算法
{
    size=sqrt(p);//分块 

    int nowv=;
    for(int i=;i<=size;i++)
    {
        nowv = (long long) nowv*a%p;//枚举
        z[i] = nowv;
        if(z[i]==b) return ;
    }
    sort(z+,z+size+);
    for(int i=;(i-)*size+<=p;i++)
    {
        int y=(long long)b*powmod(powmod(a,size*(i-),p),p-,p);
        if(erfen(y))
        {
            for(int j=(i-)*size+;j<=i*size;j++)
                if(powmod(a,j,p)==b) return j;
        }
    }
    return -;
}

int main()
{
    cin>>a>>b>>p;
    cout<<bsgs(a,b,p);
    return ;
}

i-1行*size个数+1

4.数论函数

喂正整数吐整数

积性函数

积性函数：当gcd(a,b)=1时，ƒ(ab)=ƒ(a)ƒ(b)

完全积性函数：ƒ(ab)=f(a)f(b)

积性函数包括：

不变函数：ƒ(n)=n

欧拉函数：ƒ(n)=φ(n)

莫比乌斯函数：ƒ(n)=μ(n)

因子数目总数：ƒ(n)=d(n)

因子之和函数：ƒ(n)=σ(n)

如μ(4)=0
μ(15)=1
μ(1001)=-1

φ和μ的实现：考虑线性筛，降低复杂度

代码如下：

memset(not_prime,,sizeof(not_prime));

for (int i=;i<=n;i++)
{
    if (!not_prime[i])
    {
        prime[++ prime_cnt] = i;
        phi[i] = i-;
        mu[i] = -;
    }
    for (int j=;j<=prime_cnt;j++)
    {
        int x = i * prime[j];
        if (x>n) break;

        not_prime[x] = true;
        phi[x] = phi[i] * phi[prime[j]];
        mu[x] = mu[i] * mu[prime[j]];

        if (i % prime[j] == )
        {
            phi[x] = phi[i] * prime[j];
            mu[x] = ;
            break;
        }
    }
}