min_25筛题目总结
看了网上众多博客后，我才发现，实现min_25只有脑子，没有代码。
当然可能是我太ruo了。
min_25是一种想法，不是算法。
不要尝试套模板，因为很多题目并没有什么用。
最重要的一点，g不要看成是函数，而是埃式筛第j轮后的剩下的数的F之和；S看成dp来做，也不要记忆化。
1.求[1,n]中素数个数。n≤1E11
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1E6+;
ll n,prime[maxn],size,sqr,back[maxn],m,g[maxn],id1[maxn],id2[maxn];
bool vis[maxn];
void init(ll n)
{
for(int i=;i<=n;++i)
{
if(!vis[i])prime[++size]=i;
for(int j=;j<=size&&i*prime[j]<=n;++j)
{
vis[i*prime[j]]=;
if(i%prime[j]==)break;
}
}
}
void put(ll x,int y)
{
if(x<=sqr)id1[x]=y;
else id2[n/x]=y;
}
int where(ll x)
{
if(x<=sqr)return id1[x];
else return id2[n/x];
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
sqr=sqrt(n)+;
init(sqr);
for(ll i=,j;i<=n;i=j+)
{
back[++m]=n/i;
j=n/back[m];
put(n/i,m);
g[m]=back[m]-;
}
for(int j=;j<=size;++j)
{
ll limit=prime[j]*prime[j];
for(int i=;back[i]>=limit;++i)
{
int k=where(back[i]/prime[j]);
g[i]+=j--g[k];
}
}
cout<<g[]<<endl;
return ;
}
2.求[1,n]中素数个数和。n≤1E11
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define G 500000004
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1E6+;
ll prime[maxn],size,id1[maxn],id2[maxn],m,n,back[maxn],sumF[maxn],sqr,g[maxn];
bool vis[maxn];
void put(ll x,ll y)
{
if(x<=sqr)id1[x]=y;
else id2[n/x]=y;
}
ll where(ll x)
{
if(x<=sqr)return id1[x];
else return id2[n/x];
}
ll sum(ll n)
{
return (n*(n+)%mod*G-+mod)%mod;
}
void init(int n)
{
for(int i=;i<=n;++i)
{
if(!vis[i])prime[++size]=i,sumF[size]=(sumF[size-]+i)%mod;
for(int j=;j<=size&&i*prime[j]<=n;++j)
{
vis[i*prime[j]]=;
if(i%prime[j]==)break;
}
}
}
void calc()
{
for(int j=;j<=size;++j)
{
ll limit=prime[j]*prime[j];
for(int i=;back[i]>=limit;++i)
{
int k=where(back[i]/prime[j]);
g[i]=(g[i]-prime[j]*(g[k]-sumF[j-])%mod+mod)%mod;
}
}
}
void make()
{
for(ll i=,j;i<=n;i=j+)
{
back[++m]=n/i;
j=n/back[m];
put(n/i,m);
g[m]=sum(n/i);
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
sqr=sqrt(n)+;
init(sqr);
make();
calc();
cout<<g[]<<endl;
return ;
}
3.loj6053（目前不知为何会爆long long，也许是其他原因？）
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define G 500000004
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1E6+;
ll g1[maxn],g2[maxn],back[maxn],id1[maxn],id2[maxn],n,m,sqr,size,prime[maxn],sumPrime[maxn];
bool vis[maxn];
void init(ll n)
{
for(ll i=;i<=n;++i)
{
if(!vis[i])prime[++size]=i,sumPrime[size]=(sumPrime[size-]+i)%mod;
for(ll j=;j<=size&&prime[j]*i<=n;++j)
{
vis[prime[j]*i]=;
if(i%prime[j]==)break;
}
}
}
void put(ll x,ll y)
{
if(x<=sqr)id1[x]=y;
else id2[n/x]=y;
}
ll where(ll x)
{
if(x<=sqr)return id1[x];
else return id2[n/x];
}
ll sum2(ll n){return ((n+)*n%mod*G%mod-+mod)%mod;}
void make()
{
for(ll i=,j;i<=n;i=j+)
{
back[++m]=n/i;
j=n/back[m];
put(n/i,m);
g1[m]=(back[m]-+mod)%mod;
g2[m]=sum2(back[m]);
}
}
void calc1()
{
for(ll j=;j<=size;++j)
{
ll limit=prime[j]*prime[j];
for(ll i=;back[i]>=limit;++i)
{
ll k=where(back[i]/prime[j]);
g1[i]=(g1[i]-g1[k]+j-+mod)%mod;
}
}
}
void calc2()
{
for(ll j=;j<=size;++j)
{
ll limit=prime[j]*prime[j];
for(ll i=;back[i]>=limit;++i)
{
ll k=where(back[i]/prime[j]);
g2[i]=(g2[i]-prime[j]*(((g2[k]-sumPrime[j-])%mod+mod)%mod)%mod+mod)%mod;
}
}
}
ll S(ll n,ll j)
{
ll k,sum=;
if(n<=||prime[j]>n)return ;
k=where(n);
sum=(g2[k]-sumPrime[j-]-g1[k]+j-+mod)%mod;
if(j==)sum=(sum+)%mod;
for(ll i=j;i<=size&&prime[i]*prime[i]<=n;++i)
for(ll e=,s=prime[i]*prime[i];s<=n;s*=prime[i],++e)
(sum+=(prime[i]^e)*S(n*prime[i]/s,i+)%mod+(prime[i]^(e+))%mod)%=mod;
return sum;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
if(n==){cout<<<<endl;return ;}
if(n==){cout<<<<endl;return ;}
sqr=sqrt(n)+;
init(sqr);
make();
calc1();
calc2();
cout<<(S(n,)+)%mod;
return ;
}
4.求[1,n]中phi的和。保证结果不超过long long。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1E6+;
ll back[maxn],id1[maxn],id2[maxn],n,m,size,prime[maxn],sqr,sumPrime[maxn];
ll g1[maxn],g2[maxn];
bool vis[maxn];
void put(ll x,ll y)
{
if(x<=sqr)id1[x]=y;
else id2[n/x]=y;
}
ll where(ll x)
{
if(x<=sqr)return id1[x];
else return id2[n/x];
}
void init(ll s)
{
for(int i=;i<=s;++i)
{
if(!vis[i])prime[++size]=i,sumPrime[size]=sumPrime[size-]+i;
for(int j=;j<=size&&prime[j]*i<=s;++j)
{
vis[prime[j]*i]=;
if(i%prime[j]==)break;
}
}
for(ll i=,j;i<=n;i=j+)
{
back[++m]=n/i;
j=n/back[m];
put(n/i,m);
g1[m]=n/i-;
g2[m]=(back[m]+)*back[m]/-;
}
}
void calc1()
{
for(int j=;j<=size;++j)
{
ll limit=prime[j]*prime[j];
for(int i=;back[i]>=limit;++i)
{
int k=where(back[i]/prime[j]);
g1[i]-=g1[k]-j+;
}
}
}
void calc2()
{
for(int j=;j<=size;++j)
{
ll limit=prime[j]*prime[j];
for(int i=;back[i]>=limit;++i)
{
int k=where(back[i]/prime[j]);
g2[i]-=prime[j]*(g2[k]-sumPrime[j-]);
}
}
for(int i=;i<=m;++i)g2[i]-=g1[i];
}
ll S(ll n,ll j)
{
if(n<prime[j])return ;
int k=where(n);
ll sum=g2[k]-sumPrime[j-]+j-;
for(ll i=j;prime[i]*prime[i]<=n;++i)
for(ll e=,s=prime[i]*prime[i],ans=(prime[i]-);s<=n;s*=prime[i],ans*=prime[i],++e)
sum+=ans*S(n*prime[i]/s,i+)+ans*prime[i];
return sum;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
sqr=sqrt(n)+;
init(sqr);
calc1();
calc2();
cout<<S(n,)+<<endl;
return ;
}
5.求[1,n]中mu的和。
考虑到mu函数中若指数大于等于2，就为0了，所以在S函数中不需要枚举指数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1E6+;
ll back[maxn],id1[maxn],id2[maxn],n,m,size,prime[maxn],sqr;
ll g[maxn];
bool vis[maxn];
void put(ll x,ll y)
{
if(x<=sqr)id1[x]=y;
else id2[n/x]=y;
}
ll where(ll x)
{
if(x<=sqr)return id1[x];
else return id2[n/x];
}
void init(ll s)
{
for(int i=;i<=s;++i)
{
if(!vis[i])prime[++size]=i;
for(int j=;j<=size&&prime[j]*i<=s;++j)
{
vis[prime[j]*i]=;
if(i%prime[j]==)break;
}
}
for(ll i=,j;i<=n;i=j+)
{
back[++m]=n/i;
j=n/back[m];
put(n/i,m);
g[m]=n/i-;
}
}
void calc()
{
for(int j=;j<=size;++j)
{
ll limit=prime[j]*prime[j];
for(int i=;back[i]>=limit;++i)
{
int k=where(back[i]/prime[j]);
g[i]-=g[k]-j+;
}
}
}
ll S(ll n,ll j)
{
if(n<prime[j])return ;
int k=where(n);
ll sum=g[k]-j+;
for(ll i=j;prime[i]*prime[i]<=n;++i)
sum+=-S(n/prime[i],i+);
return sum;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
sqr=sqrt(n)+;
init(sqr);
calc();
cout<<-S(n,)+<<endl;
return ;
}
ATTENTION：筛的质数个数一定要开大一点！不然可能会有一些特别的边界来卡掉。
6.积性函数f(pk)=(pk(pk-1))，求前缀和。
把质数拆成p2-p，算出质数前缀和和质数平方前缀和，然后合并一下。
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define G 166666668
#define Gi 500000004
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll maxn=1E6+;
ll n,m,id1[maxn],id2[maxn],sqr,back[maxn],g1[maxn],g2[maxn];
ll sumPrimeS[maxn],prime[maxn],Size,sumPrime[maxn];
bool vis[maxn];
ll qpow(ll x,ll y)
{
ll ans=,base=x;
while(y)
{
if(y&)ans=ans*base%mod;
base=base*base%mod;
y>>=;
}
return ans;
}
void put(ll x,ll y)
{
if(x<=sqr)id1[x]=y;
else id2[n/x]=y;
}
ll where(ll x)
{
if(x<=sqr)return id1[x];
else return id2[n/x];
}
void init(ll q)
{
for(ll i=;i<=q;++i)
{
if(!vis[i])
{
prime[++Size]=i;
sumPrime[Size]=(sumPrime[Size-]+i)%mod;
sumPrimeS[Size]=(sumPrimeS[Size-]+i*i%mod)%mod;
}
for(ll j=;j<=Size&&prime[j]*i<=q;++j)
{
vis[i*prime[j]]=;
if(i%prime[j]==)break;
}
}
for(ll i=,j;i<=n;i=j+)
{
back[++m]=n/i;
j=n/back[m];
put(n/i,m);
g1[m]=((back[m]+)%mod*back[m]%mod*Gi%mod-+mod)%mod;
g2[m]=(back[m]%mod*(back[m]+)%mod*(back[m]*%mod+)%mod*G%mod-+mod)%mod;
}
}
void calc1()
{
for(ll j=;j<=Size;++j)
{
ll limit=prime[j]*prime[j];
for(ll i=;back[i]>=limit;++i)
{
ll k=where(back[i]/prime[j]);
g1[i]=(g1[i]-((g1[k]-sumPrime[j-]+mod)%mod)*prime[j]%mod+mod)%mod;
}
}
}
void calc2()
{
for(ll j=;j<=Size;++j)
{
ll limit=prime[j]*prime[j];
for(ll i=;back[i]>=limit;++i)
{
ll k=where(back[i]/prime[j]);
g2[i]=(g2[i]-((g2[k]-sumPrimeS[j-]+mod)%mod)*prime[j]%mod*prime[j]%mod+mod)%mod;
}
}
}
ll S(ll n,ll j)
{
// cout<<n<<' '<<j<<endl;
if(n<prime[j])return ;
ll k=where(n);
ll sum=(g1[k]-sumPrimeS[j-]+sumPrime[j-]+mod)%mod;
for(ll i=j;prime[i]*prime[i]<=n;++i)
for(ll e=,s=prime[i],ans=prime[i];s<=n;++e,s*=prime[i],ans=ans*prime[i]%mod)
{
sum=(sum+S(n/s,i+)*ans%mod*(ans-)%mod)%mod;
if(e!=)sum=(sum+ans*(ans-)%mod)%mod;
}
return sum;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
sqr=sqrt(n)+;
init(sqr);
calc1();
calc2();
for(ll i=;i<=m;++i)
g1[i]=(g2[i]-g1[i]+mod)%mod;
cout<<S(n,)+<<endl;
return ;
}
https://www.luogu.org/problemnew/show/P5325
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