方程的解_NOI导刊2010提高

方程的解

给定x,求\(a_1+a_2+...+a_k=x^x\ mod\ 1000\)的正整数解解的组数,对于100%的数据，k≤100，x≤2^31-1。

解

显然x是可以快速幂得到答案的，而该问题显然是组合计数的问题，换一种解释即\(b=x^x\)个相同的数能怎样放进k个有标号盒子。

思路一

而无法解决无标号放入有标号。于是逆向思维，把有标号盒子放入无标号\(b\)个数，有标号盒子可以重复放，无标号$b数个只能被放一次，因为是正整数的缘故，所以盒子必须保证放过，故事先构造放满，再套用可重组合公式，有

\[C_{k+b-k-1}^{k-1}=C_{b-1}^{k-1}
\]

思路二

注意到组合问题很难解决，故考虑排列，而这又是划分问题，故考虑全排列划分模型，即有k-1个0与b个1进行全排列，0去划分1,但是注意到要的是正整数解，于是0之间必须有1，于是事先填好1，有

\[\frac{(k-1+b-k)!}{(k-1)!(b-k)!}=C_{b-1}^{k-1}
\]

得到公式后根据所得条件按质因数分解型的阶乘高精处理即可。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define yyb 1000
using namespace std;
struct lll{
    short num[5000];
    il lll(){num[0]=1;}
    il void clear(){memset(num,0,sizeof(num)),num[0]|=true;}
    template<class free>
    il void operator=(free x){
        num[0]=0;
        while(x)num[++num[0]]=x%10,x/=10;
    }
    il lll operator*(lll x){
        lll y;y.clear();
        for(ri int i(1),j,k;i<=num[0];++i){
            k=0;
            for(j=1;j<=x.num[0];++j)
                y.num[i+j-1]+=num[i]*x.num[j]+k,
                    k=y.num[i+j-1]/10,y.num[i+j-1]%=10;
            y.num[i+x.num[0]]+=k;
        }y.num[0]=num[0]+x.num[0];
        while(!(y.num[y.num[0]])&&y.num[0]>1)--y.num[0];
        return y;
    }template<class free>
    il lll operator^(free y){
        lll x(*this),ans;ans=1;
        while(y){
            if(y&1)ans=ans*x;
            x=x*x,y>>=1;
        }return ans;
    }
    il void print(){
        for(ri int i(num[0]);i;--i)putchar(num[i]+48);
    }
};
lll xdk[250];
bool check[1100];
int prime[250],sp[250],tot;
il int pow(int,int);
il void c(int,int),sieve(int);
int main(){
    int k,x;
    scanf("%d%d",&k,&x),x=pow(x%yyb,x);
    sieve(x-1),c(x-1,k-1);
    return 0;
}
il void sieve(int n){
    for(ri int i(2),j;i<=n;++i){
        if(!check[i])prime[++tot]=i,xdk[tot]=i;
        for(j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;++j){
            check[i*prime[j]]|=true;
            if(!(i%prime[j]))break;
        }
    }
}
il void c(int n,int r){
    if(n<r)return (void)(puts("0"));
    int i,j;lll ans;ans=1;
    for(i=1;i<=tot;++i)
        for(j=n;j;j/=prime[i])sp[i]+=j/prime[i];
    for(i=1;i<=tot;++i)
        for(j=r;j;j/=prime[i])sp[i]-=j/prime[i];
    for(i=1;i<=tot;++i)
        for(j=n-r;j;j/=prime[i])sp[i]-=j/prime[i];
    for(i=1;i<=tot;++i)ans=ans*(xdk[i]^sp[i]);ans.print();
}
il int pow(int x,int y){
    int ans(1);while(y){
        if(y&1)ans=ans*x%yyb;
        x=x*x%yyb;y>>=1;
    }return ans;
}