Tarjan算法 （强联通分量 割点 割边）

变量解释：

low 指当前节点在同一强连通分量（或环）能回溯到的dfn最小的节点

dfn 指当前节点是第几个被搜到的节点（时间戳）

sta 栈

vis 是否在栈中

ans 指强连通分量的数量

top 栈顶

1.求强连通分量

定义：如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

算法：在有向图中从一点（u）开始dfs，记录dfn，搜到一个已在栈中的点（v）时用dfn[v] (low[v]也行，但只有求强连通分量时可以别的只能用dfn[v]) 尝试更新low[u]，并在回溯时更新沿路的点的low值，走到low值与dfn相同的点时记录这个强连通分量即可。

也就是说：在同一个强连通分量中所有点low值相同，也就是有一个代表点（代表点即所有点的low值即强连通分量中dfn值最小的点）

时间复杂度为O(E+V)

code

void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++cnt;//初始化一点的dfn和low
    sta[++top]=u,vis[u]=true;//入栈
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){//邻接表
        int v=edge[i].to;
        if(!dfn[v]){//如果没走过
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//回溯过程时low值传递
        }
        else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]); //low[v]也行 用代表点更新
    }
    if(dfn[u]==low[u]) {//如果是代表点 记录并出栈
        ans++;//记录强连通分量个数
        while(sta[top]!=u){
            vis[sta[top]]=false;
            top--;
        }
        vis[sta[top]]=false;
        top--;
    }
    return ;
}

2.求无向图的割点与割边

割点：在无向图中，如果将一个点以及所有连接该点的边都去掉，图就不再连通，那么这个点就叫做这个图的一个割点。

割边：在无向图中，如果将一条边去掉，图就不再连通则称这条边为图的一个割边。

求割点：如果一个点（u）所连接的几个节点（v）的low值大或等于此节点（u）的dfn值时说明之后的节点（v）无法连接到比此点（u）更早的点上，则说明这个节点（u）是一个割点。PS：根节点需特判，当根节点在dfs树有两个或更多个子树时则说明根节点是割点

求割边：与割点类似，如果一个点（u）的dfn值大于（不能等于，否则不一定）和它连接的一个节点（v）的low值，则说明这条边（uv）为图的一个割边

变量解释：

sum 指总共有几个割点（边）

割点code

void cutpoint(int u){
    int fl=0;//为特判准备
    dfn[u]=low[u]=++cnt;//初始化
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){//用邻接表，下同
        int v=edge[i].to;
        if(!dfn[v]){
            cutpoint(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(u!=root&&low[v]>=dfn[u]&&!cpoint[u]) sum++,cpoint[u]=1;//不是根节点&&v的low值>=u的dfn值&&此点没有算过
            if(u==root) fl++;//此时特判++
        }
        low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(fl>=2&&!cpoint[u]) sum++,cpoint[u]=1;//根节点若有两棵子树则是割点
}

割边code

void cutedge(int u,int f){
    dfn[u]=low[u]=++cnt;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        if(!dfn[v]){
            cutedge(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(dfn[u]<low[v]) cedge[++sum]=i;//记录边的序号
        }
        else if(v!=f) low[u]=min(low[u],dfn[v]); //只有当v不是u的上一个节点时可行
    }
}

完整模板code:

ps：这里就不打注释了，核心就在上面的部分里

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int MAX=1000010;
int n,m,cnt,sum,root;
int head[MAX],low[MAX],dfn[MAX],cpoint[MAX],cedge[MAX];

struct edg{
    int to,next,from;
}edge[MAX];

void add(int x,int y){
    edge[++cnt].next=head[x];
    edge[cnt].from=x,edge[cnt].to=y;
    head[x]=cnt;
}

void cutpoint(int u){
    int fl=0;
    dfn[u]=low[u]=++cnt;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        if(!dfn[v]){
            cutpoint(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(u!=root&&low[v]>=dfn[u]&&!cpoint[u]) sum++,cpoint[u]=1;
            if(u==root) fl++;
        }
        low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(fl>=2&&!cpoint[u]) sum++,cpoint[u]=1;
}

void cutedge(int u,int f){
    dfn[u]=low[u]=++cnt;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        if(!dfn[v]){
            cutedge(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(dfn[u]<low[v]) cedge[++sum]=i;
        }
        else if(v!=f) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
}

void mset(){
    memset(dfn,0,sizeof dfn);
    memset(low,0,sizeof low);
    cnt=sum=0;
}

void find_cutpoint(){
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) {
        root=i;
        cutpoint(i);
    }
    printf("%d\n",sum);
    for(int i=1;i<=n;i++) if(cpoint[i]) printf("%d ",i);
}

void find_cutedge(){
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) cutedge(i,0);
    printf("%d\n",sum);
    for(int i=1;i<=sum;i++) printf("%d %d\n",edge[cedge[i]].from,edge[cedge[i]].to);
}

int main(){
//  freopen("testdata.txt","r",stdin);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    find_cutedge();
    mset();
    find_cutpoint();
    return 0;
}