luogu P4756 Added Sequence（凸包+思维）

一眼望去不会。

考虑问题中的\(f(i,j)=|\sum_{p=i}^{j}​a_p​ |\)的实际意义。

其实就是前缀和相减的绝对值。

\(f(i,j)=|\ sum[j]-sum[i-1]\ |\)

\(f(i,j)=max(sum[j]-sum[i-1],sum[i-1]-sum[j])\)

那加上x呢。

\(f(i,j)=max[(sum[j]+xj)-(sum[i-1]+x(i-1)),(sum[i-1]+x(i-1))-(sum[j]+xj)]\)

\(sum[i]+xi\)联想到直线。

我们把这些直线放到坐标系里。

(这个图是从别人那里蒯过来的)



这是把样例转为坐标系中直线的效果图。

对于一个 \(x\) ，我们询问的实际上就是横坐标为x的两条直线纵坐标的差的最大值。

所以我们用半平面交的方法维护出上下两个凸包。

因为题目中的强制在线是假的（实际上处理出的\(x\in [-2n,2n]\)）。

又因为凸包上的线段斜率是单调的，我们可以直接处理出所有 \(x\) 时的答案。

然后这题就解决了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
const int N=201000;
const double eps=1e-8;
double sum[N];
struct node{
	double x,y;
	node(double xx=0,double yy=0){
		x=xx;y=yy;
	}
};
int top1,top2;
struct Line{
	node u,v;
	double w;
}a[N],stack1[N],stack2[N];
node operator +(node a,node b){
	return node(a.x+b.x,a.y+b.y);
}
node operator -(node a,node b){
	return node(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
node operator *(node a,double b){
	return node(a.x*b,a.y*b);
}
double chaji(node a,node b){
	return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
node jiao(Line a,Line b){
	double A=chaji(b.u-a.u,b.v-a.u);
	double B=chaji(b.v-a.v,b.u-a.v);
	return a.u+(a.v-a.u)*(A/(A+B));
}
bool judge1(Line a,Line b,Line c){
	node x=jiao(b,c);
	if(chaji(x-a.u,a.v-a.u)+eps>=0)return true;
	else return false;
}
bool judge2(Line a,Line b,Line c){
	node x=jiao(b,c);
	if(chaji(x-a.u,a.v-a.u)+eps<0)return true;
	else return false;
}
int read(){
	int sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return sum*f;
}
int n,m;
double w(Line a,double x){
//	cout<<a.w<<endl;
	return a.u.y+a.w*(x-(-2.0*n));
}
map<int,double>ans;
long long lastans;
int main(){
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i].u=node(-2.0*n,sum[i]+i*-2.0*n);
		a[i].v=node(2.0*n,sum[i]+i*2.0*n);
		a[i].w=i;
	}
	a[0].u=node(-2.0*n,0);a[0].v=node(2.0*n,0);
	a[0].w=0;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		while(top1>1&&judge1(a[i],stack1[top1-1],stack1[top1]))top1--;
		stack1[++top1]=a[i];
	}
	for(int i=n;i>=0;i--){
		while(top2>1&&judge2(a[i],stack2[top2-1],stack2[top2]))top2--;
		stack2[++top2]=a[i];
	}
	int now1=1;int now2=1;
	for(int i=-2*n;i<=n*2;i++){
		while(now1<top1&&w(stack1[now1+1],i)>=w(stack1[now1],i))now1++;
		while(now2<top2&&w(stack2[now2+1],i)<=w(stack2[now2],i))now2++;
		double A=w(stack1[now1],i);
		double B=w(stack2[now2],i);
		ans[i]=A-B;
	}
	lastans=0;
	while(m--){
		int x=read();
		x=(x+lastans)%(4*n+1)-2*n;
		lastans=ans[x];
		printf("%.0lf\n",ans[x]);
	}
	return 0;
}