方阵行列式并行化计算（OpenMP，MPI），并计算加速比
以下内容为本人并行计算课程的期末作业，有不足的地方，请多多指教！
1 实验目的
本实验的目的主要有以下三点：
1、 实现方阵行列式的计算。
2、 实现方阵行列式的并行计算，分别基于 OpenMP和 MPI。
3、 比较以上三种算法的运行时间,计算加速比。
2 实验设计
2.1 生成方阵
为方便，本实验的方阵不采取手动输入的方式，而是使用随机数来生成矩阵元素。
我定义了一个全局方阵变量——int p[100][100]。在创建方阵时，方阵的阶数N（N<100)由外部输入。然后用两层“for循环”来给方阵 p左上角 N×N个位置赋值。具体实现如下：
/*
* 定义矩阵阶数N
*/
int N;
/*
* 定义一个全局矩阵
*/
int p[100][100];
/*
* 用随机数生成矩阵
*/
void create(){
int i,j;
for(i=0;i<N;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)
{
int a=rand()%15;//产生随机数，并赋给数组
p[i][j]=a;
}
}
}2.2 打印矩阵
将生成的矩阵输出，以便验算其计算行列式的正确性。具体实现如下：
/*
* 输出矩阵
*/
void print()
{
int i,j;
for(i=0;i<N;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)
printf("%d ",p[i][j]);
printf("\n");
}
}2.3 计算矩阵行列式
计算矩阵行列式的方法有很多，本实验选择的方法是：行列式按行展开法。行列式等于它任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。代数余子式：A(ij)=（-1)^(i+j)M(ij). (ij)为下标。某个元素的余子式等于原行列式划去该元素所在的行和列。本实验采取按第一行展开的方法。即：将高阶的行列式按第一行展开，一直重复展开行为，直到阶数为 1。上述过程可用递归完成。
2.3.1 递归实现代码
根据上面的理论，我们容易得出如下的实现方法：
/*
* 计算行列式的函数
*/
long long mydet(int p [100][100],int n){
if(n==1) //n=1返回矩阵的唯一数，停止递归
return p[0][0];
else{
long long sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int pp[100][100];//用于存放少一维的矩阵，为方便直接定义为100×100.
for(int j=1,j1=0;j<n;j++)//去掉第一行
{
for(int k=0,k1=0;k<n;k++)
{
if(k==i)
;//去掉对应的列
else
{
pp[j1][k1]=p[j][k];//pp为余子式
k1++;
}
}
j1++;
}
if(i%2)
sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,n-1);
else
sum+=p[0][i]*mydet(pp,n-1);
}
return sum;
}
}2.4 实现串行\OpenMP\MPI计算
我这里的并行主要是放在第一次的按行展开那，具体实现看代码吧。
2.4.1 串行代码
/*************************************************************************
> File Name: matrix_det.c
> Author: surecheun
> Mail: surecheun@163.com
> Created Time: 2017年12月06日 星期三 17时28分00秒
************************************************************************/
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<time.h>
/*
* 定义矩阵阶数N
*/
int N;
/*
* 定义一个全局矩阵
*/
int p[100][100];
/*
* 用随机数生成矩阵
*/
void create(){
int i,j;
for(i=0;i<N;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)
{
int a=rand()%15;//产生随机数，并赋给数组
p[i][j]=a;
}
}
}
/*
* 输出矩阵
*/
void print()
{
int i,j;
for(i=0;i<N;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)
printf("%d ",p[i][j]);
printf("\n");
}
}
/*
* 计算行列式的函数
*/
long long mydet(int p [100][100],int n){
if(n==1) //n=1返回矩阵的唯一数，停止递归
return p[0][0];
else{
long long sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int pp[100][100];//用于存放少一维的矩阵，为方便直接定义为100×100.
for(int j=1,j1=0;j<n;j++)//去掉第一行
{
for(int k=0,k1=0;k<n;k++)
{
if(k==i)
;//去掉对应的列
else
{
pp[j1][k1]=p[j][k];//pp为余子式
k1++;
}
}
j1++;
}
if(i%2)
sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,n-1);
else
sum+=p[0][i]*mydet(pp,n-1);
}
return sum;
}
}
int main(){
printf("N= ");
scanf("%d",&N);
while(N){ //如果输入N就可以继续算下去，这个设计主要为了方便获取时间数据来计算平均用时
create();
print();
clock_t start_t=clock(); //开始计时
printf("the sum of 串行 is %lld .\n",mydet(p,N));
clock_t end_t=clock(); //结束计时
double runing_t =(double)(end_t-start_t)/CLOCKS_PER_SEC;
printf("the runing time of 串行 is %f s.",runing_t); //输出时间
printf("\n");
printf("N= ");
scanf("%d",&N);
}
return 0;
}
2.4.2 OpenMP代码
/*************************************************************************
> File Name: matrix_det_omp.c
> Author: surecheun
> Mail: surecheun@163.com
> Created Time: 2017年12月07日 星期四 17时23分51秒
************************************************************************/
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<time.h>
#include<omp.h>
/*
* 定义线程数
*/
#define n_threads 2
/*
*定义矩阵的阶数为全局变量
*/
int N;
/*
* 定义一个全局矩阵
*/
int p[100][100];
/*
* 用随机数生成矩阵
*/
void create(){
int i,j;
for(i=0;i<N;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)
{
int a=rand()%15;//产生随机数，并赋给数组
p[i][j]=a;
}
}
}
/*
* 输出矩阵
*/
void print()
{
int i,j;
for(i=0;i<N;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)
printf("%d ",p[i][j]);
printf("\n");
}
}
/*
* 计算行列式的函数
*/
long long mydet(int p [100][100],int n){
if(n==1) //n=1返回矩阵的唯一数，停止递归
return p[0][0];
else{
long long sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int pp[100][100];
for(int j=1,j1=0;j<n;j++)//去掉第一行
{
for(int k=0,k1=0;k<n;k++)
{
if(k==i)//去掉和改数相同的列
;
else
{
pp[j1][k1]=p[j][k]; //pp为代数余子式
k1++;
}
}
j1++;
}
if(i%2)
sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,n-1);
else
sum+=p[0][i]*mydet(pp,n-1);
}
return sum;
}
}
int main(){
printf("N= ");
scanf("%d",&N);
while(N){ //如果输入的N>0，则继续计算
create(); //创建矩阵
print(); //打印创建的矩阵
double start1,finish1;
start1=omp_get_wtime(); //开始计算时间
long long sum=0;
omp_set_num_threads(n_threads);//设置线程数
#pragma omp parallel for reduction(+:sum)//并行化
for(int i=0;i<N;i++)
{
int pp[100][100];
for(int j=1,j1=0;j<N;j++)//去掉第一行
{
for(int k=0,k1=0;k<N;k++)
{
if(k==i)//去掉和i相同的列
;
else
{
pp[j1][k1]=p[j][k]; //pp为余子式
k1++;
}
}
j1++;
}
if(i%2)
sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,N-1);
else
sum+=p[0][i]*mydet(pp,N-1);
}
printf("the sum of omp is %lld .\n",sum);//输出结果
finish1=omp_get_wtime(); //结束计算时间
double runing_t =finish1-start1;
printf("the runing time of opm is %f s.",runing_t);//输出时间
printf("\n");
printf("N= ");
scanf("%d",&N);
}
return 0;
}
2.4.3 MPI实现代码
/*************************************************************************
> File Name: matrix_det_mpi.c
> Author: surecheun
> Mail: surecheun@163.com
> Created Time: 2017年12月07日 星期四 16时24分03秒
************************************************************************/
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<mpi.h>
/*
*定义矩阵的阶数为全局变量
*/
int N;
/*
* 定义一个全局矩阵
*/
int p[100][100];
/*
* 用随机数生成矩阵
*/
void create(){
int i,j;
for(i=0;i<N;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)
{
int a=rand()%15;//产生随机数，并赋给数组
p[i][j]=a;
}
}
}
/*
* 输出矩阵
*/
void print()
{
int i,j;
for(i=0;i<N;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)
printf("%d ",p[i][j]);
printf("\n");
}
}
/*
* 计算行列式的函数
*/
long long mydet(int p [100][100],int n){
if(n==1) //n=1返回矩阵的唯一数，停止递归
return p[0][0];
else{
long long sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int pp[100][100];
for(int j=1,j1=0;j<n;j++)//去掉第一行
{
for(int k=0,k1=0;k<n;k++)
{
if(k==i)
;
else
{
pp[j1][k1]=p[j][k];
k1++;
}
}
j1++;
}
if(i%2)
sum+=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,n-1);
else
sum+=p[0][i]*mydet(pp,n-1);
}
return sum;
}
}
int main(int argc,char *argv[]){
scanf("%d",&N);
int num_procs,my_rank;
double start = 0.0, stop = 0.0; //记录时间的变量
long long per_procs = 0.0; //记录每个进程算的和
long long result = 0.0; //矩阵行列式结果
MPI_Init(&argc, &argv);
MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &num_procs);
MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &my_rank);
if (my_rank == 0)
{//0号线程创建矩阵
create();
print(); //打印创建的矩阵
}
start = MPI_Wtime(); //开始计算时间
MPI_Bcast(&N, 1, MPI_INT, 0, MPI_COMM_WORLD); //将矩阵大小广播给所有进程
for (int i = 0; i <N; i++)
{
MPI_Bcast(p[i],N, MPI_INT, 0, MPI_COMM_WORLD);
} //将矩阵广播给所有进程
for (int i = my_rank; i <N; i += num_procs){ //每个线程处理不同的行和列
long long sum_i=0;
int pp[100][100];
for(int j=1,j1=0;j<N;j++)//去掉第一行
{
for(int k=0,k1=0;k<N;k++)
{
if(k==i)
;
else
{
pp[j1][k1]=p[j][k];
k1++;
}
}
j1++;
}
if(i%2)
sum_i=(-1)*p[0][i]*mydet(pp,N-1);
else
sum_i=p[0][i]*mydet(pp,N-1);
per_procs += sum_i; //记录每个进程的和
}
MPI_Reduce(&per_procs, &result, 1, MPI_LONG_LONG_INT, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD);//在0号进程求总和
if (my_rank == 0){
printf("the sum of mpi is %lld .\n",result) ;
stop = MPI_Wtime(); //结束计算时间
printf("the time of mpi is %f s\n", stop - start);
fflush(stdout);
}
MPI_Finalize();
return 0;
}
4 实验结果
4.1 正确性
4.1.1串行
结果分析，以 n=4为例，输出的矩阵为：
|
13 |
1 |
12 |
10 |
|
8 |
10 |
1 |
12 |
|
9 |
1 |
2 |
7 |
|
5 |
4 |
8 |
1 |
输出结果为：3875
和matlab计算结果一致！
4.1.2 OpenMP
结果分析，以 n=4为例，输出的矩阵为：
|
5 |
0 |
8 |
1 |
|
1 |
5 |
11 |
3 |
|
2 |
5 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
14 |
12 |
输出结果为：-2710
和matlab计算结果一致！
4.1.3 MPI
结果分析，以n=4为例，输出矩阵为：
|
9 |
1 |
2 |
7 |
|
5 |
4 |
8 |
1 |
|
0 |
6 |
7 |
1 |
|
11 |
8 |
12 |
9 |
输出结果为：-202
和matlab计算结果一致！
4.2 加速比
通过多次求平均，得到三种计算实现方法的计算时间（保留 3 位有效数字）如下：
|
N(阶数） |
串行 |
OpenMP |
MPI |
|
9 |
0.0239s |
0.0117s |
0.0117s |
|
10 |
0.195s |
0.105s |
0.100s |
柱状图如下：
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