bzoj2111 [ZJOI2010]排列计数

Description

称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

Input

输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

Output

输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,⋯, ���的排列中， Magic排列的个数模 p的值。

Sample Input

20 23

Sample Output

16

HINT

100%的数据中，1 ≤ ��� N ≤ 106, P��� ≤ 10^9，p是一个质数。 数据有所加强

正解：树形$dp$+组合数学。

$ZJ$水题合集。。

可以发现，这是一棵二叉树(其实就是线段树的结构)，$x$的儿子是$x*2$和$x*2+1$。

于是设$f[i]$表示以$i$为根的子树中，以$1$到$size[i]$为排列的合法方案数。

那么转移方程还是很显然的，$f[i]=f[ls[i]]*f[rs[i]]*\binom{sz[i]-1}{sz[ls[i]]}$。

因为$i$上面的数一定是$1$，所以我们可以在$sz[i]-1$个数中任选$sz[ls[i]]$个数到$ls$上，其他数放到$rs$上。

如果$i$只有左儿子，那么$f[i]=f[ls[i]]$；如果$i$是叶子，那么$f[i]=1$。

注意$p$可能比$n$小，所以$\binom{i}{j}$中可能有$p$的倍数，要用$lucas$定理求组合数。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define il inline
 #define RG register
 #define ll long long
 #define N (5000010)
 #define ls (x<<1)
 #define rs (x<<1|1)

 using namespace std;

 int f[N],sz[N],fac[N],ifac[N],inv[N],n,p;

 il int gi(){
   RG int x=,q=; RG char ch=getchar();
   while ((ch<'' || ch>'') && ch!='-') ch=getchar();
   if (ch=='-') q=-,ch=getchar();
   while (ch>='' && ch<='') x=x*+ch-,ch=getchar();
   return q*x;
 }

 il void pre(){
   fac[]=fac[]=ifac[]=ifac[]=inv[]=;
   for (RG int i=;i<=n;++i){
     inv[i]=1LL*(p-p/i)*inv[p%i]%p;
     fac[i]=1LL*fac[i-]*i%p;
     ifac[i]=1LL*ifac[i-]*inv[i]%p;
   }
   return;
 }

 il int c(RG int n,RG int m){
   if (n<m) return ;
   return 1LL*fac[n]*ifac[m]%p*ifac[n-m]%p;
 }

 il int lucas(RG int n,RG int m){
   if (!m) return ; RG int res=c(n%p,m%p);
   if (!res) return ;
   return 1LL*res*lucas(n/p,m/p);
 }

 il void dfs(RG int x){
   if (ls<=n) dfs(ls); if (rs<=n) dfs(rs);
   sz[x]=sz[ls]+sz[rs]+;
   if (ls>n){ f[x]=; return; }
   if (rs>n){ f[x]=f[ls]; return; }
   f[x]=1LL*f[ls]*f[rs]%p*lucas(sz[x]-,sz[ls])%p;
   return;
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
   freopen("perm.in","r",stdin);
   freopen("perm.out","w",stdout);
 #endif
   n=gi(),p=gi(),pre(),dfs();
   cout<<f[]; return ;
 }