BZOJ_1705_[Usaco2007 Nov]Telephone Wire 架设电话线_DP

BZOJ_1705_[Usaco2007 Nov]Telephone Wire 架设电话线_DP

Description

最近，Farmer John的奶牛们越来越不满于牛棚里一塌糊涂的电话服务 于是，她们要求FJ把那些老旧的电话线换成性能更好的新电话线。 新的电话线架设在已有的N(2 <= N <= 100,000)根电话线杆上， 第i根电话线杆的高度为height_i米(1 <= height_i <= 100)。 电话线总是从一根电话线杆的顶端被引到相邻的那根的顶端 如果这两根电话线杆的高度不同，那么FJ就必须为此支付 C*电话线杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。当然，你不能移动电话线杆， 只能按原有的顺序在相邻杆间架设电话线。Farmer John认为 加高某些电话线杆能减少架设电话线的总花费，尽管这项工作也需要支出一定的费用。 更准确地，如果他把一根电话线杆加高X米的话，他得为此付出X^2的费用。 请你帮Farmer John计算一下，如果合理地进行这两种工作，他最少要在这个电话线改造工程上花多少钱。

Input

* 第1行: 2个用空格隔开的整数：N和C

* 第2..N+1行: 第i+1行仅有一个整数：height_i

Output

* 第1行: 输出Farmer John完成电话线改造工程所需要的最小花费

Sample Input

5 2
2
3
5
1
4
输入说明:
一共有5根电话线杆，在杆间拉电话线的费用是每米高度差$2。
在改造之前，电话线杆的高度依次为2，3，5，1，4米。

Sample Output

15
输出说明:
最好的改造方法是：Farmer John把第一根电话线杆加高1米，把第四根加高2米，
使得它们的高度依次为3，3，5，3，4米。这样花在加高电线杆上的钱是$5。
此时，拉电话线的费用为$2*(0+2+2+1) = $10，总花费为$15。

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分析：

一般的DP：设f[i][j]表示前i根电线杆高度为j的最小花费。

f[i][j]=min{f[i-1][k]+(k-a[i])^2+c*abs(j-k)。显然会T。

考虑优化这个方程，我们把绝对值打开。

if(k<=j) f[i][j]=f[i-1][k]-c*k+c*j+(k-a[i])^2

else f[i][j]=f[i-1][k]+c*k-c*j+(k-a[i])^2

f[i-1][k]-c*k和f[i-1][k]+c*k的最小值可以在求出f的时候同时更新。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100050
#define mem(x) memset(x,0x3f,sizeof(x))
int f[N], n, a[N], l[120], r[120], m, c;
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &c);
	int i, j;
	for(i = 1;i <= n; ++ i) scanf("%d",&a[i]), m = max(m, a[i]);
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	for(i = a[1];i <= m; ++ i) f[i] = (i - a[1]) * (i - a[1]);
	for(i = 2;i <= n; ++ i) {
		mem(l);
		mem(r);
		for(j = a[i - 1];j <= m; ++ j) {
			l[j] = min(l[j - 1], f[j] - c * j);
		}
		for(j = m;j >= a[i - 1]; -- j) {
			r[j] = min(r[j + 1], f[j] + c * j);
		}
		for(j = a[i - 1] - 1;j >= 1; -- j) {
			r[j] = r[j + 1];
		}
		for(j = a[i];j <= m; ++ j) {
			f[j] = (j - a[i]) * (j - a[i]) + min(l[j] + c * j, r[j] - c * j);
		}
	}
	int ans = 1<<30;
	for(i = a[n];i <= m; ++ i) ans = min(ans, f[i]);
	printf("%d\n",ans);
}