HDOJ Problem - 1299

题意：等式 1 / x + 1 / y = 1 / n （x, y, n ∈ N+ (1) 且 x <= y） ，给出 n，求有多少满足该式子的解。(1 <= n <= 1e9)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1299

分析：x,y肯定都满足 n<x<=y; 设 x = n + k; 带入上式得 ：1/y = k/(n²+n*k); 即 k要整除 (n²+n*k); 又 k 一定整除 n*k; 即求 k 整除 n²; 即求 n² 的因数个数。

注意：   1.数据范围太大，不能直接分解n²。

2.利用唯一分解定理的推论求因数个数：对于一个数n，由唯一分解定理得x=a1^k1*a2^k2...*an^kn.(ai为素数)。

则x的因子个数为(k1+1)*(k2+1)*...*(kn+1)。

　　　　3.推出：x²=(a1^k1*a2^k2......*an^kn)². 则 n²的因子个数为 (2*k1+1)*(2*k2+1)*......*(2*kn+1)。

　　　　4.又x<=y, 则 ans=(ans+1)/2;(ans是n^2的因数个数)。

代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define mx 100000
 int prime[mx];
 int vis[mx];
 void getprime()
 {
     int m=sqrt(mx+0.5);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         if(!vis[i])
         {
             for(int j=i*i;j<mx;j+=i)
                 vis[j]=;
         }
     }
     int cnt=;
     for(int i=;i<mx;i++)
         if(!vis[i])
            prime[cnt++]=i;
 }
 int fun(int num)
 {
     int ans=;
     int qs=sqrt(num+0.5);
     //cout<<qs<<endl;
     for(int i=;prime[i]<=qs;i++) //设a=n+x，b=n+y。得到n^2=x*y
     {
         int cnt=;
         while(!(num%prime[i])&&num>)
         {
             num/=prime[i];
             cnt++;
         }
         ans*=(*cnt+);    //注意：由于n的范围比较大，所以我们不能直接将n^2分解，
     }                      //我们可以通过分解n从而得知n^2分解的情况，由此计算答案
     if(num!=)
         ans*=;
     return ans;
 }
 int main()
 {
    getprime();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int k=;k<=t;k++)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int ans=fun(n);
        printf("Scenario #%d:\n%d\n\n",k,(ans+)/);
    }
    return ;
 }