数论学习笔记之解线性方程 a*x + b*y = gcd(a,b)

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咳咳！！！今天写此笔记，以防他日老年痴呆后不会解方程了！！！

　　Begin !

~1~， 首先呢，就看到了一个 gcd(a,b),这是什么鬼玩意呢？什么鬼玩意并不重要，重要的她代表的含义，其实呢，gcd(a,b)就表示 非负整数 a 和 b（不同时为0） 的最大公约数，（数论概论上说：计算 a 与 b 的最大公因数的更低效方法是我女儿四年级老师教的方法，老师要求学生求出 a 与 b 的所有因数，然后找出同时出现在两个表中的最大数字。 YES！A good idea for 小学生！） 。如今呢，我们自然不能这样算啦！

好吧！从求 gcd (a,b) 开始！

　　一般的有下列式子：

a = b * q1 + R1  ;

b = R1 *q2 + R2 ;

R1 = R2 * q3 + R3 ;

R2 = R3 * q4 + R4 ;

。。。。。。

。。。。。。

　　这样写下去什么时候才是个头啊~_~。。。

　　很显然 必然会有结束的地方的，因为肯定会有一个 R  为 0 （R2 >= R4 >= R6 ....，R1 >= R3 >= R5 ...)，好吧，继续往下写：

Rn-1 = Rn * qn+1  +   Rn+1  ;

Rn = Rn+1 * qn+2  +  Rn+2 ；假设 Rn+2 == 0

。。。。。。。。。。。。。 ok！^_^  。。。。。。。。。。。。。。

Rn+2 = 0了，那么由最后一个式子得 Rn+1整除Rn，接着，Rn+1 整除 Rn-1，，，，很显然的，这个递推可以推到第一个式子，so，Rn+1 整除 a，Rn+1 整除 b， 也就是说 Rn+1 是 a 与 b 的公约数了，是不是最大的呢？先把 Rn+1 记为 g，设 d 为 a 与 b  的任意一个公约数，由第一个

式子（a = b * q1 + R1）可以知道，d 整除 R1 ，再代入到第二个式子里得， d 整除 R2，推啊推，推啊推，最后知道了 d 整除 Rn+1，即 d 整除 g,

因为 d 是任意的公约数 ， d 整除 g ，那么 取 d 为 最大公约数，则 g 既是公约数，又是最大公约数的倍数，只能是 ：g 就是最大公约数。

　　在前面“，，，，递推 。。”里隐藏了一个惊天大秘密，那就是 gcd(a,b) = gcd(b,a%b)，这个秘密啊，十分的奇妙！为啥有这个结论呢？从第一个式子（a = b * q1 + R1） 显然， gcd (a,b) = g; 再显然 gcd(b,r1) = g ； 。。。。。 显然嘛，gcd (a,b) = gcd(b,a%b)，

　。。。。。。。。。。。ok。这个问题算是解决了。代码附上。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

 int gcd(int a,int b)
 {
     return b==?a:gcd(b,a%b) ;
 }

gcd

~2~，好吧，其实前面只是闲扯！不过我可以赌五毛钱前面的东西没有偏题！

　　下面来正面解决这个问题：a*x + b*y = gcd(a,b) ；

　　一般的有下列式子：

a = b * q1 + R1  ; 　　　　R1 = a - q1 * b ;

b = R1 *q2 + R2 ;　　　　R2 = b - q2 * R1 ;

R1 = R2 * q3 + R3 ;　　　R3 = R1 - q3 * R2 ;

R2 = R3 * q4 + R4 ;

。。。。。。

　　值得注意的是右边的式子。可以发现每一个 R 都可以表示成 a 和 b 的倍数(把R1记作 （1,-q1))，可以定义一个结构体 A, B（好吧，是两个），

A.x ，A.y 分别表示 a, b 的系数，初始化一下A = a = (1,0)，B = b = (0,1)， 那么，R1 = A - q1*B ; 可以看到下面还要用到R1，而且用不到 A 了，

直接 令 A = R1 多好呢！ A = A - B*q1 ; 再看R2 , R2 = B - q2*R1 = B - q2*A ; 同样 令 B = R2；则 B = B - A*q2；下面 R3 = A - q3*B ；也就是

A = A - q3*B ；再接着: B = B - A*q 。。。。。。等等，什么时候终止呢？在“再看R2"之前，考虑这样一个问题，若 R1 == g 呢？显然这个时候就要终止了，伪代码如下：

while(1) {

　　q = a/b;

　　r = a%b;

　　A = A - B*q;

　　(a,b) = (b,a%b);

　　(A,B) = (B,A) //这样更容易写代码

　　if （a%b == 0) break;

}

: 0 需特判。

代码如下：

 void sol(int a,int b,int &g)
 {
     A.x = B.y =  ;
     A.y = B.x =  ;
     if (a == ) {
         g = b ;
         A.x = ;
         A.y = ;
         return ;
     }
     if (b == ) {
         g = a;
         A.x = ;
         A.y = ;
         return ;
     }
     Node C ;
     int q, r ;
     while () {
         q = a/b ;
         r = a%b ;
         A.x = A.x - B.x*q;
         A.y = A.y - B.y*q;
         a = b;
         b = r;
         if (a%b == ) break;
         C = A;
         A = B;
         B = C;
     }
     g = b ;
 }

ex_gcd

　　其实呢？还有一个代码比较简短，用的是递归，附上如下：

 void ex_gcd(int a,int b,int &g,int &x,int &y)
 {
     if (!b) {
         g = a;
         x = ;
         y = ;
     }
     else {
         ex_gcd(b,a%b,g,y,x) ;
         y -= x*(a/b) ;
     }
 }

递归版的ex_gcd

显然， a*x+b*y = gcd(a,b)的解不止一个（(x,y))，事实上，此方程的每一个解都可由 (x+k*(b/g),y-k*(a/g))得出，其中 k 可取任意整数。