AGC024E Sequence Growing Hard

题意

给出\(n\),\(m\),\(mu\)，问有多少个序列组\((A_0,A_1,\dots,A_n)\)满足：

• 序列\(Ai\)的长度恰好为\(i\)
• 所有元素均在\([1,m]\)
• \(A_{i−1}\)是\(A_i\)的子序列
• \(A_i\)的字典序大于\(A_{i−1}\)

答案模\(mu\)输出。

\(n,k \le 300\)

传送门

思路

又是一道神仙\(dp\)

一个很重要的思路：把数从小往大插入

当我们插入\(i\)时，因为数列中的数都是\(\le i\)的，所以\(i\)插在所有位置都是可以的

例如：\(1323\),考虑插入\(3\)

最前面：\(31323\)；一：\(13323\)；二：\(13323\)；三：\(13233\)；四：\(13233\)

不过同时我们也发现：会算重。而且是当插到\(i\)前面的时候

所以我们强行规定相同数一定要插在后面就可以了。

我们记录\(dp[i][j][k]\)表示当前进行到第\(i\)个操作，放到数字\(j\)，有\(k\)个数后可以放（注意这意味着有\(k+1\)种，因为开头也是可以放的）。

转移：

• \(dp[i][j][k - 1]+= dp[i][j][k] (k>0)\)表示这个位置的数后不放
• \(dp[i][j + 1][i] += dp[i][j][k] (k=0)\)\(j\)已经不能放了，从\(j+1\)新开始放（不存在相同的，所以所有数后都能放）
• \(dp[i + 1][j][k] += dp[i][j][k]*(k + 1)\) 表示我们放置这个数，放这个数有\(k+1\)中选择。

代码十分简短

参考

#include <bits/stdc++.h>
#define upd(x,y) x=(x+y>=mu?x+y-mu:x+y)
int n,m,mu,dp[305][305][305];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&mu);
	dp[0][1][0]=1;
	for (int i=0;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			for (int k=i;k>=0;k--){
				if (k) upd(dp[i][j][k-1],dp[i][j][k]);
				else upd(dp[i][j+1][i],dp[i][j][k]);
				upd(dp[i+1][j][k],1ll*dp[i][j][k]*(k+1)%mu);
			}
	printf("%d",dp[n][m][0]);
}