洛谷 NOIP提高组模拟赛 Day1

传送门

## $T1$

一道结论题，设原来A队能力最大的是x，那么A队的选择方案就是$2^{x-1}$，B队的选择方案就是$(2^{n-x}-1)$种，因为不能不选。其中$1\leq x\leq n$，那么根据乘法原理，最后的答案就是 $\sum\limits^{n-1}_{x=1}2^{x-1}*(2^{n-x}-1)$，化简可得 $ans=n*2^{n-1}-(2^{n}-1)$，然后一个快速幂就行了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define int long long

using namespace std;
const int mod = 1e9+;
typedef long long LL;

int n;

int fast_pow(int x,int y){
    int ret=;
    for(;y;y>>=){
        if(y&) ret=(LL)ret*x%mod;
        x=(LL)x*x%mod;
    }
    return ret;
}

signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    int ans=(n*fast_pow(,n-)%mod-(fast_pow(,n)-)%mod+mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return ;
}

## $T2$

一道比较套路的题吧，首先肯定是先按每个物品的消失时间排序，然后就可以跑背包了，$f[i][j]$表示到了第$i$个物品，时间为$j$的最大收益，时间复杂度$O(n*MAX\_D)$。输出方案考试时候想了挺久。。。其实就是倒着走回去。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int MAXN = ;

inline int rd(){
    int x=,f=;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {f=ch=='-'?:;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}

int n,ans,lx,ly,all[MAXN],cnt;
int f[MAXN][];

struct Node{
    int t,w,d,id;
}data[MAXN];

inline bool cmp(Node A,Node B){
    return A.d<B.d;
}

int main(){
//    freopen("T2.out","w",stdout);
    n=rd();
    for(int i=;i<=n;i++)
        data[i].t=rd(),data[i].d=rd(),data[i].w=rd(),data[i].id=i;
    sort(data+,data++n,cmp);
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<data[i].d;j++){
            f[i][j]=f[i-][j];
            if(j>=data[i].t)
                 f[i][j]=max(f[i][j],f[i-][j-data[i].t]+data[i].w);
        }
    for(int i=;i<=data[n].d;i++)
        if(f[n][i]>ans) {
            ans=f[n][i];
            ly=i;
        }
    lx=n;cout<<ans<<endl;
    for(int i=n;i;i--)
        for(int j=ly;j>=;j--)
            if(f[i][j]==ans) {
                if(f[i-][j]!=f[i][j]) ans-=data[i].w,all[++cnt]=data[i].id;
                ly=j;break;
            }
    printf("%d\n",cnt);
    for(int i=cnt;i;i--) printf("%d ",all[i]);
    return ;
}

## $T3$

考试的时候没有做出来，后来经过$G \color{red} {hostCai}$神犇的指点，才知道用网络流做，开一个超级源点$S$和一个超级汇点$T$，然后将每个点拆成左部点和右部点，$S$向左部点连流量为$a[i]$的点，表示每个点至多能向其他点给出$a[i]$的能量，左部点向能到达的右部点连流量为$inf$的边(注意要连自己)，右部点向汇点连流量为$b[i]$的边，表示最多收到$b[i]$的能量，然后跑一个最大流，看所有右部点到汇点的边是否满流，不满说明无解。再看每个左部点到所有右部点的反边的流量即为答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#define czq namespace 

using czq std;
const int MAXN = ;
const int MAXM = ;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

inline int rd(){
    int x=,f=;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {f=ch=='-'?:;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}

int n,m,head[MAXN],to[MAXM],val[MAXM],nxt[MAXM];
int cnt=,a[MAXN],b[MAXN],S,T,cur[MAXN],d[MAXN],ans[MAXN][MAXN];
queue<int> Q;

inline void add(int bg,int ed,int w){
    to[++cnt]=ed,nxt[cnt]=head[bg],val[cnt]=w,head[bg]=cnt;
    to[++cnt]=bg,nxt[cnt]=head[ed],val[cnt]=,head[ed]=cnt;
}

bool bfs(){
    memset(d,,sizeof(d));
    while(Q.size()) Q.pop();
    Q.push(S);d[S]=;
    while(Q.size()){
        int x=Q.front();Q.pop();
        for(register int i=head[x];i;i=nxt[i]){
            int u=to[i];
            if(!d[u] && val[i]){
                d[u]=d[x]+;
                if(u==T) return true;
                Q.push(u);
            }
        }
    }
    return false;
}

int dinic(int x,int flow){
    if(x==T) return flow;
    int res=flow,k;
    for(register int &i=cur[x];i && res;i=nxt[i]){
        int u=to[i];
        if(val[i] && d[u]==d[x]+){
            k=dinic(u,min(res,val[i]));
            if(!k) d[u]=;
            val[i]-=k;res-=k;val[i^]+=k;
//            cout<<k<<endl;
        }
    }
    return flow-res;
}

int main(){
    n=rd(),m=rd();int x,y;S=*n+,T=*n+;
    for(int i=;i<=n;i++) a[i]=rd(),add(S,i,a[i]),add(i,i+n,inf);
    for(int i=;i<=n;i++) b[i]=rd(),add(i+n,T,b[i]);
    for(int i=;i<=m;i++){
        x=rd(),y=rd();
        add(x,y+n,inf);
        add(y,x+n,inf);
    }
    while(bfs()) {memcpy(cur,head,sizeof(head));dinic(S,inf);}
    for(register int i=head[T];i;i=nxt[i])
        if(val[i^]) {puts("NO");return ;}
    puts("YES");
    for(register int i=;i<=n;i++)
        for(register int j=head[i];j;j=nxt[j]){
            int u=to[j];
            ans[i][u-n]+=val[j^];
        }
    for(register int i=;i<=n;i++){
        for(register int j=;j<=n;j++)
            printf("%d ",ans[i][j]);
        putchar('\n');
    }
    return ;
}