P1613 跑路（倍增）

题目描述

小A的工作不仅繁琐，更有苛刻的规定，要求小A每天早上在6：00之前到达公司，否则这个月工资清零。可是小A偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资，小A买了一个十分牛B的空间跑路器，每秒钟可以跑2^k千米（k是任意自然数）。当然，这个机器是用longint存的，所以总跑路长度不能超过maxlongint千米。小A的家到公司的路可以看做一个有向图，小A家为点1，公司为点n，每条边长度均为一千米。小A想每天能醒地尽量晚，所以让你帮他算算，他最少需要几秒才能到公司。数据保证1到n至少有一条路径。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个整数n，m，表示点的个数和边的个数。

接下来m行每行两个数字u，v，表示一条u到v的边。

输出格式：

一行一个数字，表示到公司的最少秒数。

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

说明

【样例解释】

1->1->2->3->4，总路径长度为4千米，直接使用一次跑路器即可。

【数据范围】

50%的数据满足最优解路径长度<=1000；

100%的数据满足n<=50，m<=10000，最优解路径长度<=maxlongint。

洛谷题解

这道题目求的是从1号点到n号点最少要几秒到达。我们可以看到这个跑路器，每秒跑2^k条边（每条边1km），所以呢，这道题目明显就和“倍增”扯上了关系。回忆倍增，我们总是用一个参数k表示2^k，这道题目也一样，我们需要用一个bool类型G数组，G[i][j][k]代表从i到j是否存在一条长度为2^k的路径。再用dis数组来记录两点之间需要用多久到达。这样我们可以用G来保存所有的边，并且进行预处理，把所有一秒能到的两个点之间都连上边，并把距离相应调整为1。那么我们就把所有一秒能到的点之间都铺上了边，接下来我们就要求出两点之间的最短路啦，那么，大家都明白了，对于50的数据，Floyd绝对是最简单可行的办法了。

下面上代码。

比如说a到b是1，b到c是2，那么a到c是需要两次的。

预处理的时候只有两个都是k-1的时候才行

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 int dis[][],n,m;

 bool G[][][];

 /*以上是变量说明部分，dis[i][j]表示i到j的路径/边的长度

 G[i][j][k]表示，i到j是否存在一条长度为2^k的路径

 如果有，为true，没有就是false*/

 void init()

 {

     memset(G,false,sizeof(G));

     memset(dis,,sizeof(dis));

     scanf("%d%d",&n,&m);

     for(int i=;i<=m;i++)

     {

         int x,y;

         scanf("%d%d",&x,&y);

         dis[x][y]=;

         G[x][y][]=true;

         /*初始化，x到y的路径（边）最短是1，也就是x到y存在

         一条长度为2^0的路径（边）*/

     }

 }

 void work()//此函数对G和dis做预处理

 {

     for(int k=;k<=;k++)

     //对于本题的数据，2^64已经足够。

     for(int i=;i<=n;i++)

     for(int t=;t<=n;t++)

     for(int j=;j<=n;j++)

     //枚举三个点

     if(G[i][t][k-]&&G[t][j][k-])

     /*如果i到t存在一条2^k-1长度的路径

     并且t到j存在一条2^k-1长度的路径

     就说明i到t，t到j都可以一秒到达，

     路程*2刚好是2的幂，也可以一秒到达*/

     {

         G[i][j][k]=true;

         //标记从i到j存在一条长度为2^k的路径

         dis[i][j]=;

         //i到j距离可以一秒到达

     }

 }

 void floyd()

 {

     for(int k=;k<=n;k++)

     //这里的注意点：枚举中间点的循环放在最前面

     for(int i=;i<=n;i++)

     for(int j=;j<=n;j++)

     dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

     //松弛操作。

 }//Floyd图论求最短路。

 int main()

 {

     init();

     work();

     floyd();

     printf("%d",dis[][n]);

     return ;

 }