HDU4734 F(x) 题解 数位DP

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4734

题目大意：

对于一个 \(n\) 位十进制数 \(x\) （\(A_nA_{n-1}A_{n-2} \cdots A_2A_1\)），我们定义

\[F(x)=A_n \times 2^{n-1} + A_{n-1} \times 2^{n-2} + \cdots + A_2 \times 2 + A_1 \times 1
\]

现在给你两个数 \(A\) 和 \(B\) ，请计算出区间 \([0,B]\) 范围内有多少 \(\le F(A)\) 的数。（\(0 \le A,B \lt 10^9\)）

解题思路：

首先 \(A \le 10^9\) 所以 \(F(A)\) 的最大值为

\[F(999999999) = 9 \times (2^8+2^7+ \cdots + 2^0) = 9 \times (2^9-1) = 4599
\]

所以对于任意一个 \(\lt 10^9\) 的 \(x\) 来说， \(F(x) \le 4599\) 。

我们可以用 数位DP 来解决这个问题。

我们设状态 \(f[pos][num]\) 来表示当前数位在 \(pos\) 且剩余值不超过 \(num\) 的方案数。

然后我们开函数 dfs(int pos, int num, bool limit) 进行求解，其中：

• pos 表示当前所处数位；
• num 表示剩余数值（也就是 pos 位开始的数不能超过 num）；
• limit 表示当前是否处于限制状态。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[33][5000], a[33];
void init() {
    memset(f, -1, sizeof(f));
}
int dfs(int pos, int num, bool limit) {
    if (pos < 0) return 1;
    if (!limit && f[pos][num] != -1) return f[pos][num];
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    int tmp = 0;
    for (int i = 0; i <= up; i ++) {
        int t = i * (1<<pos);
        if (t > num) break;
        tmp += dfs(pos-1, num-t, limit && i==up);
    }
    if (!limit) f[pos][num] = tmp;
    return tmp;
}
int get_num(int x, int num) {
    int pos = 0;
    while (x) {
        a[pos++] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(pos-1, num, true);
}
int T, A, B, num;
int F(int x) {
    int res = 0, t = 1;
    while (x) {
        res += t * (x%10);
        x /= 10;
        t *= 2;
    }
    return res;
}
int main() {
    init();
    scanf("%d", &T);
    for (int cas = 1; cas <= T; cas ++) {
        scanf("%d%d", &A, &B);
        num = F(A);
        printf("Case #%d: %d\n", cas, get_num(B, num));
    }
    return 0;
}