2019.7.3模拟 七星连珠（行列式+随机+k进制FWT）

题目大意：

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给一个\(n*n\)的矩阵，对于所有排列p，记录\(a[i][p[i]]\)的k进制下不进位加法的结果，问所有被记录过的数。

\(n<=50,p=2、3,0<=a[i][j]<p^7\)

题解：

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又是排列，不妨考虑行列式：

\(|A|=\sum_{p是排列}(-1)^{p的逆序对个数} \prod A[i][p[i]]\)

这里的A是一个集合幂级数，×定义为k进制不进位加法卷积。

假设我们直接做高斯消元求行列式，发现由于\((-1)^？\)次方，可能导致本来≠0而加起来为0，所以需要随机一个系数作为集合幂级数的系数。

带着这么个集合幂级数去高斯消元显然不太行，假设p=2，不妨先FWT，这样卷积就变成了点积，并且点积不同位之间没有影响，所以可以先枚举是哪一位，再消元。

这样的话复杂度是\(O(n^3*p^7)\)。

那么问题就在于如何做p进制的FWT。

发现FWT的本质就是构造一个可逆的转移矩阵，这里转移矩阵需要满足做出来点积后是k进制不进位加法，也就是k的循环溢出，那么不妨直接用FFT的单位复数根去完成这个东西。

即转移矩阵\(b[i][j]=w_k^{ij}\)，逆FWT就是\(w_k^{-ij}/k\)。

\(w_k\)可以取FFT的\((cos(2*\pi/k),sin(2*\pi/k)*i)\)，也可以NTT那样取一个\(p|(mo-1)\)的质数mo，然后用\(原根^{(mo-1)/k}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
#define db long double
using namespace std;

int rand(int x, int y) {
	return ((ll) RAND_MAX * rand() + rand()) % (y - x + 1) + x;
}

const int mo = 1e9 + 9;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

int num, n, k, a[51][51];
ll w[3];
void fwt(ll *a, int n, int f) {
	ll v = ksm(ksm(13, (mo - 1) / k), f == 1 ? 1 : mo - 2);
	w[0] = 1; ff(i, 1, k) w[i] = w[i - 1] * v % mo;
	for(int h = 1; h < n; h *= k) {
		for(int j = 0; j < n; j += k * h) {
			ff(i, 0, h) {
				ll c[3]; ff(u, 0, k) c[u] = 0;
				ff(u, 0, k) ff(v, 0, k) c[v] += a[i + j + h * u] * w[u * v % k] % mo;
				ff(u, 0, k) a[i + j + h * u] = c[u] % mo;
			}
		}
	}
	if(f == -1) {
		v = ksm(n, mo - 2);
		ff(i, 0, n) a[i] = a[i] * v % mo;
	}
}

const int N = 2187 + 5;

int m;
ll b[51][51][N], c[N], d[51][51];

ll solve(ll a[][51]) {
	ll s = 1;
	fo(i, 1, n) {
		int u = i;
		fo(j, i, n) if(a[j][i]) { u = j; break;}
		if(i != u) {
			fo(j, 1, n) swap(a[i][j], a[u][j]);
			s *= -1;
		}
		ll ni = ksm(a[i][i], mo - 2);
		fo(j, i + 1, n) if(a[j][i]) {
			ll v = -a[j][i] * ni % mo;
			fo(k, 1, n) a[j][k] = (a[j][k] + a[i][k] * v) % mo;
		}
	}
	fo(i, 1, n) s = s * a[i][i] % mo;
	return s;
}

int main() {
	srand(time (0) + clock());
	freopen("astrology.in", "r", stdin);
	freopen("astrology.out", "w", stdout);
	scanf("%d %d %d", &num, &n, &k);
	m = 1; fo(i, 1, 7) m = m * k;
	fo(i, 1, n) fo(j, 1, n) scanf("%d", &a[i][j]);
	fo(i, 1, n)	fo(j, 1, n) {
		b[i][j][a[i][j]] = rand(1, mo - 1);
		fwt(b[i][j], m, 1);
	}
	solve(d);
	ff(u, 0, m) {
		fo(i, 1, n) fo(j, 1, n) d[i][j] = b[i][j][u];
		c[u] = solve(d);
	}
	fwt(c, m, -1);
	ff(i, 0, m) if(c[i]) pp("%d ", i);
}