CF258D Little Elephant and Broken Sorting

题意

题意翻译

有一个\(1\sim n\)的排列,会进行\(m\)次操作,操作为交换\(a,b\)。每次操作都有\(50\%\)的概率进行。

求进行\(m\)次操作以后的期望逆序对个数。

\(n,m\le 1000\)

输入输出格式

输入格式:

The first line contains two integers \(n\) and \(m\) \((1\leq n,m\leq 1000,n>1)\) — the permutation size and the number of moves. The second line contains \(n\) distinct integers, not exceeding \(n\) — the initial permutation. Next \(m\) lines each contain two integers: the \(i\)-th line contains integers \(a_{i}\) and \(b_{i}\) \((1\leq a_{i},b_{i}\leq n,a_{i}\neq b_{i})\) — the positions of elements that were changed during the \(i\)-th move.

输出格式:

In the only line print a single real number — the answer to the problem. The answer will be considered correct if its relative or absolute error does not exceed \(10^{-6}\).

输入输出样例

输入样例#1:

2 1
1 2
1 2

输出样例#1:

0.500000000

输入样例#2:

4 3
1 3 2 4
1 2
2 3
1 4

输出样例#2:

3.000000000

思路

这道题真的水。 --Mercury

完全想不到的状态设计,感谢\(Mercury\)巨佬的指点。

定义\(f(i,j)\)为位置\(i\)上的数比位置\(j\)上的数大的概率。假设每次交换都是\(100\%\)成功的,不妨设这次交换的数的下标为\(a,b\),那么对于任意的\(f(i,a),f(i,b)\)就要被交换,\(f(a,i),f(b,i)\)也要被交换。可是当前交换的概率是\(50\%\)的,所以\(f(i,a),f(i,b)\)之间的差值要被分别减少\(50\%\),也就相当于\(f(i,a)=f(i,b)=(f(i,a)+f(i,b))\div 2\)。同理,\(f(a,i)=f(b,i)=(f(a,i)+f(b,i))\div 2\)。最后的逆序对期望,也就是\(\Sigma [i<j]f(i,j)\times 1\),也就是\(\Sigma [i<j]f(i,j)\)。

还要再胡扯两句。 其实只要想出了\(f(i,j)\)这个东西,什么都简单了,可是又会有几个人能够想到这种方法呢?完全没有类似的情况作为参考,掌握了这道题却又能给类似的题提供经验(毕竟也没有类似的题)。下一次见到了这种思维量大的题,还是不太能想得出。思维的活跃在\(OI\)中还是有很大的作用的啊!

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
using namespace std;
int n,m,a[1005];
double ans,f[1005][1005];
int read()
{
RG int re=0;RG char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return re;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for(RG int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(RG int i=1;i<=n;i++)
for(RG int j=i+1;j<=n;j++)
if(a[i]>a[j]) f[i][j]=1.0;
else f[j][i]=1.0;
while(m--)
{
RG int x=read(),y=read();
if(x==y) continue;
for(RG int i=1;i<=n;i++)
{
if(i==x||i==y) continue;
f[i][x]=f[i][y]=(f[i][x]+f[i][y])/2;
f[x][i]=f[y][i]=(f[x][i]+f[y][i])/2;
}
f[x][y]=f[y][x]=0.5;
}
for(RG int i=1;i<=n;i++)
for(RG int j=i+1;j<=n;j++)
ans+=f[i][j];
printf("%.8f",ans);
return 0;
}

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