【CF908E】New Year and Entity Enumeration 位运算+DP

【CF908E】New Year and Entity Enumeration

题意：给定$M=2^m-1$，我们称一个集合S是好的，当且仅当它满足：1.$\forall a\in S,a\  \mathrm{xor}\  M \in S$，2.$\forall a,b\in S,a\  \mathrm{and}\  b \in S$，3.$\forall a\in S,a\le M$。

现在给定集合T，求有多少个好的集合S，满足T是S的子集。

m<=1000,|T|<=50。

题解：显然有了与和取反以后，我们还可以实现或和异或。如果给定T以后，我们对T中的数进行运算能得到什么数呢？容易发现如果二进制位a和位b如果在所有数中都是相同的，那么造出来的数也一定满足位a和位b是相同的。所有满足这个条件的数我们都能造出来。

也就是说，我们只需要确定S中哪些位是始终相同的，即把m个物品分到若干个集合的方案数（Bell数），用$m^2$的DP很容易求出。

但是由于要求T是S的子集，相当于认为的将某些物品分到了一起，我们可以对每个位置维护一个|T|位二进制状态，如果两个位置的状态是不同的，则这两个位置不是始终相同的，则S中对应位置也不能始终相同。所以我们可以对所有相同的状态，代入Bell数求出方案，再将不同状态的方案数乘到一起即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
bool ban[1010][1010];
int bel[1010];
int n,m;
ll ans;
ll tag[1010],f[1010][1010],s[1010];
char str[1010];
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	int i,j,siz;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",str+1);
		for(j=1;j<=m;j++)	if(str[j]=='1')	tag[j]|=1ll<<(i-1);
	}
	ans=f[0][0]=1;
	for(i=1;i<=m;i++)	for(j=1;j<=i;j++)	f[i][j]=(f[i-1][j]*j+f[i-1][j-1])%P,s[i]=(s[i]+f[i][j])%P;
	for(i=1;i<=m;i++)	if(!bel[i])
	{
		siz=0;
		for(j=i;j<=m;j++)	if(tag[j]==tag[i])	bel[j]=i,siz++;
		ans=ans*s[siz]%P;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}