HDU 4725 The Shortest Path in Nya Graph（spfa+虚拟点建图）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4725

题目大意：有n层，n个点分布在这些层上，相邻层的点是可以联通的且距离为c，还有额外给出了m个条边，求1号点到n号点的最短距离，若无法到达则输出“-1”。

解题思路：最短路问题，主要是建图很难。如果按常规建法，用邻接表存每层的节点编号然后在建边肯定会超时，因为如果点只分布在两个层上，那建边的复杂度就是O（n^2）了。所以要改变一下思路，可以用n个虚拟点来代表n层，把连到该层的点都连接到虚拟点上，同一层花费为0，不同层花费为c。但是还需要一点处理，不然这样的话同一层的点的花费就会变成0，原本可能不可达的变得可达。这是我从别人博客看来的两种方法（出处）：

A.每层拆两个点，一个点管入，一个点管出，这样的话同层的点不会回到同层的另外一个点上。

B.每层拆一个点，这个点只管入，而处于该层的点则向左右两层虚拟点相连。

我用的是方法B，建了2n个点（有n个是虚拟点），边数大概为5n条（点和点2n，点和相邻层2n，虚拟点到同层的点n）

代码：

 #include<iostream>
 #include<queue>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int N=2e5+;
 const int INF=0x3f3f3f3f;

 struct node{
     int to,next,w;
 }edge[*N];

 int n;
 int idx,head[N],dis[N],layer[N];//layer[i]记录第i个点所在的层
 bool vis[N],sign[N];//sign[i]记录第i层是否有点

 void init(){
     idx=;
     memset(head,-,sizeof(head));
 }

 void addEdge(int u,int v,int w){
     edge[idx].to=v;
     edge[idx].w=w;
     edge[idx].next=head[u];
     head[u]=idx;
     idx++;
 }

 void spfa(int s){
     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
     memset(vis,false,sizeof(vis));
     dis[s]=;
     queue<int>q;
     q.push(s);
     while(!q.empty()){
         int k=q.front();
         q.pop();
         vis[k]=false;
         for(int i=head[k];i!=-;i=edge[i].next){
             node t=edge[i];
             if(dis[k]+t.w<dis[t.to]){
                 dis[t.to]=dis[k]+t.w;
                 if(!vis[t.to]){
                     q.push(t.to);
                     vis[t.to]=true;
                 }
             }
         }
     }
 }

 int main(){
     int t,cas=;
     scanf("%d",&t);
     while(t--){
         init();
         memset(sign,false,sizeof(sign));
         int m,c;
         scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
         for(int i=;i<=n;i++){
             scanf("%d",&layer[i]);
             sign[layer[i]]=true;
         }
         for(int i=;i<=n-;i++){        //相邻层的虚拟点建边
             if(sign[i]&&sign[i+]){        //当两个相邻层都有点才建边
                 addEdge(i+n,i+n+,c);
                 addEdge(i+n+,i+n,c);
             }
         }
         for(int i=;i<=n;i++){            //虚拟点到同一层的点建边
             addEdge(layer[i]+n,i,);
             if(layer[i]>)                //点和相邻层的虚拟点建边
                 addEdge(i,layer[i]+n-,c);
             if(layer[i]<n)
                 addEdge(i,layer[i]+n+,c);
         }

         for(int i=;i<=m;i++){
             int u,v,w;
             scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
             addEdge(u,v,w);
             addEdge(v,u,w);
         }
         spfa();
         if(dis[n]<INF)
             printf("Case #%d: %d\n",++cas,dis[n]);
         else
             printf("Case #%d: -1\n",++cas);
     }
     return ;
 }