[bzoj1025][SCOI2009]游戏 (分组背包)

Description

windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一 且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一 排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。 如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 6 3 1 2 4 5 6 1 2 3 5 4 6 2 3 1 4 5 6 3 1 2 5 4 6 1 2 3 4 5 6 这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

Input

包含一个整数，N。

Output

包含一个整数，可能的排数。

Sample Input

【输入样例一】
3
【输入样例二】
10

Sample Output

【输出样例一】
3
【输出样例二】
16

HINT

【数据规模和约定】

100%的数据，满足 1 <= N <= 1000 。

分析

     要用到一点点群论的知识：一个置换可以分解成若干个不相交循环的乘积，且这个置换的阶数就等于各个循环的元素个数的最小公倍数。

那么我们要考虑的问题变成了：将N划分成若干个整数的和，这些整数的最小公倍数共有多少种取值？

先考虑一个整数的唯一分解$M=\prod {p_i} ^ {a_i}$，如果它在答案中，则$S = \sum {p_i} ^ {a_i}$一定在N以内。因为对于一个不大于N的整数的任何一个满足最大公约数大于1的整数划分，我们将每个整数中重复的质因子除去，得到的一组两两互质的整数，它们的和也一定不大于N，且它们的最小公倍数不变。因此我们只需计算出N以内这些两两互质的整数划分的方案树就可以了。简单来说，就是“要用一个整数划分凑出某个确定的最小公倍数，最‘节约’的方案是用这个最小公倍数的唯一分解”。

具体地，我们可以先筛出N以内的所有素数，对于每种素数只能选择其中的一个幂次乘入答案，求一下分组背包就可以了。

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 1025
 3     User: AsmDef
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:4 ms
 7     Memory:824 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
 /***********************************************************************/
 /**********************By Asm.Def-Wu Jiaxin*****************************/
 /***********************************************************************/
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <ctime>
 #include <cctype>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 #define SetFile(x) ( freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout) )
 #define getc() getchar()
 template<class T>inline void getd(T &x){
     char ch = getc();bool neg = false;
     while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();
     if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;
     x = ch - ';
      - ' + ch;
     if(neg)x = -x;
 }
 inline void putLL(LL x){
     ){printf("%d\n", x);return;}
     , r = x % ;
     printf("%d%09d\n", l, r);
 }
 /***********************************************************************/
 ;
 int prime[maxn], pcnt, N;
 LL F[maxn], tmp[maxn];
 inline void euler(){
     };
     int i, j;
     ;i <= N;++i){
         if(!not_p[i])prime[++pcnt] = i;
         ;j <= pcnt;++j){
             if(i * prime[j] > N)break;
             not_p[i * prime[j]] = true;
             )break;
         }
     }
 }
  
 inline void work(){
     getd(N);
     euler();
     //for(int i = 1;i <= pcnt;++i)printf("%d\n", prime[i]);
     int i, j, p, d;
     LL ans = ;
     F[] = ;
     ;i <= pcnt;++i){
         p = prime[i];
         memcpy(tmp, F, sizeof(F));
         for(d = p;d <= N;d *= p)
             for(j = d;j <= N;++j)F[j] += tmp[j-d];
     }
     ;i <= N;++i) ans += F[i];
     putLL(ans);
 }
  
 int main(){
  
 #ifdef DEBUG
     freopen("test.txt", "r", stdin);
 #elif !defined ONLINE_JUDGE
     //SetFile(bzoj_1025);
 #endif
     work();
  
 #ifdef DEBUG
     //printf("\n%.2lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
 #endif
     ;
 }

分组背包