牛客挑战赛30D 小A的昆特牌（组合数学）

题面

传送门

题解

很容易写出一个暴力

\[\sum_{i=l}^r {i+n-1\choose n-1}{s-i+m\choose m}
\]

即枚举选了多少个步兵，然后用插板法算出方案数

我们对这个换一种角度考虑，可以看做是从\((0,0)\)走到\((s,n+m)\)，且必须经过\((l,n),(r,n)\)这条直线的方案数

这个就等价于第\(l\)步向右走时纵坐标在\((0,n-1)\)的方案数减去第\(r+1\)步向右走时在\((0,n-1)\)的方案数

ps：关于第\(p\)步向右走时在\((0,n-1)\)的方案的计算的话，我们枚举一下就行了，即为

\[\sum_{i=0}^{n-1}{p-1+i\choose i}{s+n+m-p-i\choose n+m-i}
\]

其中前面是\(p-1+i\)是因为最后一步强制向右走

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=2e7+5,P=998244353;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int inv[N],f[N],g[N];
int n,m,s,l,r;
int calc(R int p){
	if(p>s)return 0;
	int res=0;
	f[0]=g[0]=1;
	fp(i,1,n+m){
		g[i]=1ll*g[i-1]*(p+i-1)%P*inv[i]%P,
		f[i]=1ll*f[i-1]*(s-p+i)%P*inv[i]%P;
	}
	fp(i,0,n-1)res=add(res,mul(f[n+m-i],g[i]));
	return res;
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&s,&l,&r);
	inv[0]=inv[1]=1;fp(i,2,N-1)inv[i]=1ll*(P-P/i)*inv[P%i]%P;
	printf("%d\n",dec(calc(l),calc(r+1)));
	return 0;
}