CoinChange

题目

题目：CoinChange

有面额不等的coins，数量无限，要求以最少的\(coins\)凑齐所需要的\(amount\)。

若能，返回所需的最少coins的数量，若不能，返回-1。

• Example 1:
  
  coins = [1, 2, 5], amount = 11
  
  return 3 (11 = 5 + 5 + 1)
• Example 2:
  
  coins = [2], amount = 3
  
  return -1.

无法用贪心做,例如：coins = [5,6,10], amount = 11 *。

动态规划解法：

1、

这里我用\(coins=[c_1,c_2,...,c_m]\)表示所有的\(coin\)面值的集合;

用集合\(S(amount)=(c_{i1},c_{i2}...c_{im})\)表示凑齐\(amount\)的一种凑法；

用函数\(f(amount)\)表示 凑齐\(amount\)的所有的凑法。

当\(amount=i\)的时候，有\(f(i)\)种凑法,

$ f(amount) = \{ (c_{i1},...),(c_{i2},...),...,(c_{ik},...) \} ,c_x\in coins$

例如：

\(coins = [1,5,6,9], amount = 11\);

.........\(f(11)=\{ (5,6),(1,1,9)\}\)

凑齐11，有两种办法，一是5+6，另一种是1+1+9.

用\(dp[i]\)表示凑齐\(amount\)所需的最少\(coins\)数，\(dp[i]=-1\)表示无法凑齐。

\(dp[i] = min \{count( f(i) ) \}\)

例如：\(dp[11]=min\{count(f(11))\}=min\{count((5,6),(1,1,9))\}=min\{2,3\}=2\)

2、递推公式：

\(f()\)的递推公式为：

\(f(j)=\{f(i_1)+c_1,f(i_2)+c_2,...,f(i_k)+c_k \}\)，条件：\(j>i,f(j)>=0,c_x\in coins\)

\(dp[]\)的递推公式为：

\(dp[j]=min\{dp[i_1]+1,dp[i_2]+1,...,dp[i_k]+1 \}\)

3、边界条件：

\(f(0)=0\)

\(dp[0]=0\)

---

例子：

amount：                       11
coins:  0 - - - - 5 6 - - - 10  -
amount: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
dp:     0 - - - - 1 1 - - -  1  2

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代码：

int coinChange(const vector<int>& coins, int amount) {
	vector<int> dp(amount + 1, -1);
	dp[0] = 0;

	for (int i = 1; i <= amount ; i++) {
		for (int c: coins) {
            if (i >= c && dp[i-c] >= 0) { // 若coin面值超过amount，无法凑出
                if (dp[i] > 0) {          // 若有别的凑法，比较那种凑法用的coins少
                    dp[i] = dp[i] < (dp[i - c] + 1) ? dp[i] : dp[i - c] + 1;
                } else {
                    dp[i] = dp[i - c] + 1;
                }
            }
        }
    }
    //display(dp);
    return dp[amount];
}