图论专题训练1-D(K步最短路,矩阵连乘)

题目链接

/*
 *题目大意：
 *求出从i到j,刚好经过k条边的最短路;
 *
 *矩阵乘法的应用之一(国家队论文):
 *矩阵乘法不满足交换律,矩阵乘法满足结合律;
 *给定一个有向图,问从A点恰好走k步(允许重复经过边)到达B点的方案数mod p的值;
 *把给定的图转为邻接矩阵,即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j;
 *令C=A*A,那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j),实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数(枚举k为中转点);
 *类似地,C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数;
 *同理,如果要求经过k步的路径数,只需要二分求出A^k即可;
 *
 *算法思想：
 *类似于快速幂的矩阵相乘的方法,只是把相乘部分改成floyd;
 *基于动态规划：d[i][j][k],表示点i到j有2^k条路径的最短路;
 *INF值很奇怪,各种数据都感觉不合适,换了很多次才过;
**/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=222;
const int MAXM=1111;
//const int INF=0xfffffff;
const int INF=999999999;

int f[MAXM];
int cnt;
int map[MAXN][MAXN];
int res[MAXN][MAXN],tmp[MAXN][MAXN];//res[i][j]表示i与j之间的最短路（之间有n条路），这个n是时刻变化的

int N,T,S,E;
void solve(int n)//就像快速幂的矩阵连乘，只是把相乘部分改成floyd
{
    while(n)
    {
        if(n%2)//n为奇数时,n=2^a+2^a+b,这里补上b步,后面计算2*2^a步;
        {
            for(int i=1; i<=cnt; i++)
                for(int j=1; j<=cnt; j++)
                    tmp[i][j]=INF;

            for(int k=1; k<=cnt; k++)
                for(int i=1; i<=cnt; i++)
                    for(int j=1; j<=cnt; j++)
                        if(tmp[i][j]>res[i][k]+map[k][j])
                            tmp[i][j]=res[i][k]+map[k][j];

            for(int i=1; i<=cnt; i++)
                for(int j=1; j<=cnt; j++)
                    res[i][j]=tmp[i][j];
        }

        for(int i=1; i<=cnt; i++)
            for(int j=1; j<=cnt; j++)
                tmp[i][j]=INF;
        for(int k=1; k<=cnt; k++)
            for(int i=1; i<=cnt; i++)
                for(int j=1; j<=cnt; j++)
                    if(tmp[i][j]>map[i][k]+map[k][j])
                        tmp[i][j]=map[i][k]+map[k][j];

        for(int i=1; i<=cnt; i++)
            for(int j=1; j<=cnt; j++)
                map[i][j]=tmp[i][j];

        n=n/2;
    }
    return;
}

int main()
{
    //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d%d%d%d",&N,&T,&S,&E))
    {
        for(int i=0; i<=MAXN; i++)
        {
            for(int j=0; j<=MAXN; j++)
                map[i][j]=INF,res[i][j]=INF;
            res[i][i]=0;
        }
        memset(f,0,sizeof(f));
        cnt=0;
        int u,v,w;
        for(int i=1; i<=T; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&w,&u,&v);
            if(f[u]==0)
            {
                cnt++;
                f[u]=cnt;
            }
            if(f[v]==0)
            {
                cnt++;
                f[v]=cnt;
            }
            map[f[u]][f[v]]=w;
            map[f[v]][f[u]]=w;
        }
        solve(N);
        printf("%d\n",res[f[S]][f[E]]);
    }
    return 0;
}