【xsy2274】 平均值 线段树

题目大意：给你一个长度为$n$的序列$a$，请你求：

$\sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{r=l}^{n}\dfrac{mex(a_l,a_{l+1},...,a_r)}{r-l+1}$

对998244353取模

数据范围：$n≤5\times 10^5$

我们考虑把原先的式子转化一下

令$s[i]=\sum\limits_{j=1}^{i} \frac{1}{i}$。

令$f[i][l]$表示最小的$x$，满足$mex(a_l,a_{l+1},...,a_x)≥i$。若找不到这样的$x$，$f[i][l]=n+1$

不难发现，原先答案的式子我们可以转化:

$\sum\limits_{i=1}^{lim}\sum\limits_{l=1}^{n}s[n-l+1]-s[f[i][l]-l]$

其中lim表示最大的数x，满足0到x-1中的数都出现过

然后我们发现，当i不变时，$f[i]$的值是递增的，且有大量的值是相同的，且以区间的形式出现。

我们可以基于这个性质，通过线段树打标记，快速地将$f[i]$的值更新至$f[i+1]$。

线段树统计的同时维护答案的式子，每次累加即可。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M (1<<19)
 #define L long long
 #define mid ((a[x].l+a[x].r)>>1)
 #define MOD 998244353
 using namespace std;

 L pow_mod(L x,L k){L ans=;for(;k;k>>=,x=x*x%MOD) if(k&) ans=ans*x%MOD; return ans;}
 L inv[M]={},s[M]={},n;
 L S(int l,int r){return (s[r]-s[max(l-,)]+MOD)%MOD;}

 struct seg{int l,r,tag,minn,maxn;L sum;}a[M*];

 void pushup(int x){
     a[x].minn=min(a[x<<].minn,a[x<<|].minn);
     a[x].maxn=max(a[x<<].maxn,a[x<<|].maxn);
     a[x].sum=(a[x<<].sum+a[x<<|].sum);
 }
 void upd(int x,int k){
     a[x].tag=a[x].minn=a[x].maxn=k;
     a[x].sum=S(k-a[x].r,k-a[x].l);
 }
 void pushdown(int x){
     if(a[x].tag) upd(x<<,a[x].tag),upd(x<<|,a[x].tag);
     a[x].tag=;
 }

 int build(int x,int l,int r){
     a[x].l=l; a[x].r=r; if(l==r) return a[x].minn=a[x].maxn=l;
     build(x<<,l,mid); build(x<<|,mid+,r); pushup(x);
 }

 void updata(int x,int l,int r,int k){
     if(a[x].minn>=k) return;
     if(a[x].l==a[x].r){
         a[x].minn=a[x].maxn=max(a[x].maxn,k);
         a[x].sum=S(k-a[x].l,k-a[x].l);
         return;
     }
     if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r){
         if(a[x].maxn<k){
             upd(x,k);
             return;
         }
     }
     pushdown(x);
     if(l<=mid) updata(x<<,l,r,k);
     if(mid<r) updata(x<<|,l,r,k);
     pushup(x);
 }

 struct node{
     int x,id; node(){x=id=;}
     friend bool operator <(node a,node b){return a.x==b.x?a.id<b.id:a.x<b.x;}
 }p[M];

 int main(){
     for(int i=;i<M;i++) inv[i]=pow_mod(i,MOD-);
     for(int i=;i<M;i++) s[i]=(s[i-]+inv[i])%MOD;
     for(int i=;i<M;i++) s[i]=(s[i-]+s[i])%MOD;

     scanf("%d",&n); build(,,n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i].x),p[i].id=i;
     sort(p+,p+n+); p[].x=-; p[n+].x=;

     L ans=,hh=;

     for(int i=,j=;i<=n;hh++){
         if(p[i].x!=p[i-].x+) break;
         while(p[i].x==p[j].x) j++;

         for(int last=;i<=j;i++){
             if(i==j){
                 if(last<n) updata(,last+,n,n+);
                 break;
             }
             updata(,last+,p[i].id,p[i].id);
             last=p[i].id;
         }

         ans=(ans+a[].sum)%MOD;
     }

     cout<<(s[n]*hh-ans+MOD)%MOD<<endl;
 }