[CF1065F]Up and Down the Tree[树dp]

题意

给定一棵以 \(1\) 为根的树，你每次可以选择跳到某个叶子节点，再跳到和他深度差不超过 \(k\) 的祖先。询问最多能够跳到多少个叶子节点。

\(n,k\leq 10^6\) .

分析

• 最后的决策一定是跳很多叶子然后回到 \(u\) 后向下跳上不来。

• 发现如果能够跳进 \(u\) 子树再跳回 \(u\)，取决于最浅的叶子和 \(u\) 之间的距离是否 \(\leq k\)。

• 记 \(f_u\) 表示以 \(u\) 为根的子树的最大收益， \(g_u\) 表示跳下去之后回到 \(u\) 的最大收益，\({len}_u\) 表示 \(u\) 的最浅叶子到 \(u\) 的距离。

• 对于 \(u\) 来说，如果 \({len}_v+1>k\) 那么就不能跳到 \(v\) 的子树再回来了，此时设置 \(g_v=0\).

• 要选定跳进去后不跳出来的一个子树，这时因为不能考虑 \(g_v\) 的贡献，所以要找一个 \(f_v-g_v\) 最大的子树。

• 总时间复杂度为 \(O(n)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].last,v=e[i].to)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
typedef long long LL;
inline int gi(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))	{if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=1e6 + 7,inf=0x3f3f3f3f;
int n,edc,K;
int head[N],len[N],f[N],g[N];
struct edge {
	int last,to;
	edge() {} edge(int last,int to):last(last),to(to) {}
} e[N*2];
void Add(int a,int b) {
	e[++edc]=edge(head[a],b),head[a]=edc;
	e[++edc]=edge(head[b],a),head[b]=edc;
}
void dfs(int u,int fa) {
	len[u]=inf;
	int fg=1;
	go(u)if(v^fa){
		fg=0;dfs(v,u);
		Min(len[u],len[v]+1);
		if(len[v]+1>K) g[v]=0;
		g[u]+=g[v];
		Max(f[u],f[v]-g[v]);
	}
	if(fg) len[u]=0,g[u]=f[u]=1;
	else f[u]+=g[u];
}
int main() {
	n=gi(),K=gi();
	rep(i,2,n) Add(i,gi());
	dfs(1,0);
	printf("%d\n",f[1]);
	return 0;
}