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第一个问题是经典的最多不相交区间问题,用贪心即可解决。
主要问题是第二个,求最小字典序的方案。
我们可以尝试从\(1\to n\)扫一遍所有区间,按顺序对每一个不会使答案变差的区间都尝试着去填,这样就可以保证方案的字典序最小。
考虑如果快速判断该区间是否能成为最优解,开头先按右端点从小到大排序,左端点从大到小排序,再去除有包含关系的区间,这样使得讨论更为简单。
设待插入的区间为\([r,l]\),该区间左边的第一个已插入的区间的右端点为\(L\),右边的第一个已插入的区间的左端点为\(R\),\(S[i][j]\)表示\([i,j]\)间有多少已插入的区间。
则该区间能插入必须满足\(S[L + 1][R - 1] = S[L + 1][r - 1] + S[l + 1][R - 1] + 1\)。
对于快速计算\(S\),我们可以采用倍增的思想,设\(ne[x][i]\)表示第\(x\)个区间后选择\(2^i\)个区间的最后一个区间下标,可以使用倍增在\(nlogn\)内预处理出来。
维护已插入区间可以使用\(C++\ STL\ set\)。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 18;
struct dd{
int x, y;
bool operator < (const dd &b) const
{
if (!(y ^ b.y))
return x > b.x;
return y < b.y;
}
};
dd a[N], b[N];
int X[N], Y[N], ne[N][M], m, gn;
set<dd>S;
inline int re()
{
int x = 0;
char c = getchar();
bool p = 0;
for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar())
p |= c == '-';
for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
x = x * 10 + c - '0';
return p ? -x : x;
}
inline int lowbod(int x)
{
int l = 1, r = m, mid, an = m + 1;
while (l <= r)
{
mid = (l + r) >> 1;
if (X[mid] >= x)
{
an = mid;
r = mid - 1;
}
else
l = mid + 1;
}
return an;
}
inline int calc(int l, int r)
{
int x = lowbod(l);
if (x > m || Y[x] > r)
return 0;
int s = 1;
for (int i = gn; ~i; i--)
if (ne[x][i] && Y[ne[x][i]] <= r)
{
s += 1 << i;
x = ne[x][i];
}
return s;
}
int main()
{
int i, j, n, l, r, L, R;
n = re();
for (i = 1; i <= n; i++)
{
a[i].x = re();
a[i].y = re();
b[i] = a[i];
}
sort(b + 1, b + n + 1);
for (i = 1; i <= n; i++)
if (b[i].x > b[m].x || !m)
b[++m] = b[i];
for (i = 1; i <= m; i++)
{
X[i] = b[i].x;
Y[i] = b[i].y;
}
for (i = j = 1; i <= m; i++)
{
for (; j <= m && b[j].x <= b[i].y; j++);
if (j <= m)
ne[i][0] = j;
}
gn = log2(m);
for (j = 1; j <= gn; j++)
for (i = 1; i <= m; i++)
ne[i][j] = ne[ne[i][j - 1]][j - 1];
printf("%d\n", calc(-2e9, 2e9));
S.insert((dd){-2e9, -2e9});
S.insert((dd){2e9, 2e9});
for (i = 1; i <= n; i++)
{
set<dd>::iterator x = S.lower_bound(a[i]), y;
--(y = x);
L = y -> y;
r = a[i].x;
l = a[i].y;
R = x -> x;
if (L >= r || l >= R)
continue;
if (!(calc(L + 1, R - 1) ^ (calc(L + 1, r - 1) + calc(l + 1, R - 1) + 1)))
{
printf("%d ", i);
S.insert(a[i]);
}
}
return 0;
}
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