题目大意:

Alice想要得到一个长度为\(n\)的序列,序列中的数都是不超过\(m\)的正整数,而且这\(n\)个数的和是\(p\)的倍数。

Alice还希望,这\(n\)个数中,至少有一个数是质数。

Alice想知道,有多少个序列满足她的要求。

对\(100\%\)的数据,\(1\leq n \leq 10^9,1\leq m \leq 2\times 10^7,1\leq p\leq 100\)

直接求不太好求,容斥一下,先求出全部的方案,再除掉没有质数的

全部的方案怎么求?

考虑\(dp\),设\(f[i][j]\)表示\(i\)个数字,其和\(mod\ p\)为\(j\)的方案数,可以得到转移方程\(f[i_1+i_2][(j_1+j_2)\%p]=f[i_1][j_1]*f[i_2][j_2]\)

然后跑一年就出来了

考虑第一维,发现好像挺像个指数的运算

那我们把第一维用快速幂优化掉

当然我们要提前求出\(i=1\)时的\(f[i][j]\),这个循环一遍就完了

设\(g[i][j]\)表示\(i\)个数字,其和\(mod\ p\)为\(j\)的且不含质数方案数,转移方程相同,只是初始的时候质数不贡献答案

然后就好了~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
inline int read()
{
int x=0;char ch,f=1;
for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return f?x:-x;
}
const int N=2e7+10,p=20170408;
int n,m,k;
int f[233],g[233],F[233],G[233],c[233];
signed prime[N>>1],num;
bool vis[N];
inline void work(int *a,int *b,int *d)
{
for(int i=0;i<k;++i)
{
for(int j=0;j<k;++j)
{
(c[i+j]+=a[i]*b[j])%=p;
}
}
for(int i=0;i<k;++i)
{
d[i]=(c[i]+c[i+k])%p;
c[i]=c[i+k]=0;
}
}
inline void main()
{
n=read(),m=read(),k=read();
f[1]=g[1]=F[0]=G[0]=1;
for(int i=2;i<=m;++i)
{
++f[i%k];
if(!vis[i]) prime[++num]=i;
else ++g[i%k];
for(int j=1;j<=num;++j)
{
if(i*prime[j]>m) break;
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
while(n)
{
if(n&1) work(F,f,F),work(G,g,G);
work(f,f,f);
work(g,g,g);
n>>=1;
}
printf("%lld\n",(F[0]-G[0]+p)%p);
}
}
signed main()
{
red::main();
return 0;
}

等等,我们发现了什么?

看这里

for(int i=0;i<k;++i)
{
for(int j=0;j<k;++j)
{
(c[i+j]+=a[i]*b[j])%=p;
}
}

一个卷积!在这里写个任意模数\(ntt\)岂不美哉

虽然对于这道题来说是没事找事

代码先鸽子了,毕竟我还不会任意模数\(ntt\)

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