洛谷P3702 [SDOI2017]序列计数

题目大意：

Alice想要得到一个长度为\(n\)的序列，序列中的数都是不超过\(m\)的正整数，而且这\(n\)个数的和是\(p\)的倍数。

Alice还希望，这\(n\)个数中，至少有一个数是质数。

Alice想知道，有多少个序列满足她的要求。

对\(100\%\)的数据，\(1\leq n \leq 10^9,1\leq m \leq 2\times 10^7,1\leq p\leq 100\)

直接求不太好求，容斥一下，先求出全部的方案，再除掉没有质数的

全部的方案怎么求？

考虑\(dp\)，设\(f[i][j]\)表示\(i\)个数字，其和\(mod\ p\)为\(j\)的方案数，可以得到转移方程\(f[i_1+i_2][(j_1+j_2)\%p]=f[i_1][j_1]*f[i_2][j_2]\)

然后跑一年就出来了

考虑第一维，发现好像挺像个指数的运算

那我们把第一维用快速幂优化掉

当然我们要提前求出\(i=1\)时的\(f[i][j]\)，这个循环一遍就完了

设\(g[i][j]\)表示\(i\)个数字，其和\(mod\ p\)为\(j\)的且不含质数方案数，转移方程相同，只是初始的时候质数不贡献答案

然后就好了～

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
	inline int read()
	{
		int x=0;char ch,f=1;
		for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
		if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
		while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
		return f?x:-x;
	}
	const int N=2e7+10,p=20170408;
	int n,m,k;
	int f[233],g[233],F[233],G[233],c[233];
	signed prime[N>>1],num;
	bool vis[N];
	inline void work(int *a,int *b,int *d)
	{
		for(int i=0;i<k;++i)
		{
			for(int j=0;j<k;++j)
			{
				(c[i+j]+=a[i]*b[j])%=p;
			}
		}
		for(int i=0;i<k;++i)
		{
			d[i]=(c[i]+c[i+k])%p;
			c[i]=c[i+k]=0;
		}
	}
	inline void main()
	{
		n=read(),m=read(),k=read();
		f[1]=g[1]=F[0]=G[0]=1;
		for(int i=2;i<=m;++i)
		{
			++f[i%k];
			if(!vis[i]) prime[++num]=i;
			else ++g[i%k];
			for(int j=1;j<=num;++j)
			{
				if(i*prime[j]>m) break;
				vis[i*prime[j]]=1;
				if(i%prime[j]==0) break;
			}
		}
		while(n)
		{
			if(n&1) work(F,f,F),work(G,g,G);
			work(f,f,f);
			work(g,g,g);
			n>>=1;
		}
		printf("%lld\n",(F[0]-G[0]+p)%p);
	}
}
signed main()
{
	red::main();
	return 0;
}

等等，我们发现了什么？

看这里

for(int i=0;i<k;++i)
{
	for(int j=0;j<k;++j)
	{
		(c[i+j]+=a[i]*b[j])%=p;
	}
}

一个卷积！在这里写个任意模数\(ntt\)岂不美哉

虽然对于这道题来说是没事找事

代码先鸽子了，毕竟我还不会任意模数\(ntt\)