证明xcosx无周期

假设\(xcos\,x\)有周期，依据周期函数的规律，可得
\[
\begin{aligned}
xcos\,x & = (x+T)cos\,(x+T) \\
& = (x+T)cos\,xcos\,T - sin\,xsin\,T \\
& = xcos\,xcos\,T - xsin\,xsin\,T + Tcos\,xcos\,T - Tsin\,xsin\,T \\
\end{aligned}
\]
上式需要成立，则\(cos\,T = 1并且Tcos\,xcos\,T-Tsin\,xsin\,T-xsin\,xsin\,T=0\)，

上式发现只有\(T=0\)时，两个条件才成立，因此\(xcos\,x\)函数没有周期