CH6201 走廊泼水节[最小生成树]

描述

【简化版题意】给定一棵N个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。求增加的边的权值总和最小是多少。

我们一共有N个OIER打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有N个水龙头(至于为什么，我不解释)。N个水龙头之间正好有N-1条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的..)。但是OIER门为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密~),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接(也就是构成一个完全图呗~)。但是OIER门很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那N-1条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要大于两个水龙头之前连接的所有小道(小道当然要是最短的了)。所以神COW们，帮那些OIER们计算一下吧，修建的那些道路总长度最短是多少，毕竟修建道路是要破费的~~

输入格式

本题为多组数据~
第一行t，表示有t组测试数据
对于每组数据
第一行N，表示水龙头的个数（当然也是OIER的个数）；
2到N行，每行三个整数X,Y,Z；表示水龙头X和水龙头Y有一条长度为Z的小道

输出格式

对于每组数据，输出一个整数，表示修建的所有道路总长度的最短值。

样例输入

样例输出

4

17

数据范围与约定

每个测试点最多10组测试数据
50% n<=1500;
100% n<=6000
100% z<=100

样例解释

第一组数据，在2和3之间修建一条长度为4的道路，是这棵树变成一个完全图，且原来的树依然是这个图的唯一最小生成树.

解析：

我们可以按照一种类似Kruskal的思路来做。把边权排个序依次加入并查集。

思路是这样，每次往并查集中加入一条边时，除非是第一条加入的边，那么势必会产生一张没有联通完全的图。按照题意，我们最后得出的是一张完全图，所以说每次加入边的时候我们就可以把没连上的点连上了，反正他们最后势必要连，不如连更小边权的边。我们用Sx和Sy表示某两个不交叉的并查集的元素个数，这时我们假设现在要在两个并查集之间连一条当前的最小边z，假设它的边权为val，其它没有连接的节点如果连接起来，而且我们想让它们的边权最小，就会产生Sx*Sy-1个点相连的情况，以及多出(val+1)*(Sx*Sy-1)的边权。

这就是增加的边权了，而且它势必最小。

参考代码：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<queue>

#define N 10010

using namespace std;

int s[N],fa[N];

struct node{

    int x,y,val;

}g[N];

bool operator<(node a,node b){

    return a.val<b.val;

}

int get(int x)

{

    if(fa[x]==x) return x;

    return fa[x]=get(fa[x]);

}

int main()

{

    int t;

    cin>>t;

    while(t--)

    {

        memset(s,,sizeof(s));

        memset(fa,,sizeof(fa));

        int n;

        scanf("%d",&n);

        for(int i=;i<n;i++)

            scanf("%d%d%d",&g[i].x,&g[i].y,&g[i].val);

        for(int i=;i<=n;i++) fa[i]=i,s[i]=;

        sort(g+,g+n);

        int ans=;

        for(int i=;i<n;i++){

            int x=get(g[i].x),y=get(g[i].y),val=g[i].val;

            if(x==y) continue;

            fa[x]=y;

            ans+=(long long)(val+)*(s[x]*s[y]-);

            s[y]+=s[x];

        }

        cout<<ans<<endl;

    }

    return ;

}