什么是三次样条插值

  插值(interpolation)是在已知部分数据节点(knots)的情况下,求解经过这些已知点的曲线,

然后根据得到的曲线进行未知位置点函数值预测的方法(未知点在上述已知点自变量范围内)。

  样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法,在技术制图中,使用软尺连接两个相邻数据点,

以达到连接曲线光滑的效果。

  样条插值是一种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。数学上,曲线光滑需要在曲线上处处一阶导连续,

因此,在节点处需要满足一阶导数相等。另外,为了使得曲线的曲率最小,要求曲线二阶导连续【1】

在节点处需要二阶导相等。

  三次及以上多项式可以满足节点处光滑和曲率最小要求,但是次数高的曲线容易震荡,因此,就选用三次多项式即可。

数学表述

  假设有n个已知节点:

      

  函数关系记为: 

  在区间  中插值多项式曲线:

        

注意,这里头曲线为,尾曲线为

  插值在节点处满足条件:

  (1)曲线经过节点:

    

  (2)曲线一阶导连续(光滑):

    

  (3)曲线二阶导连续(曲率最小):

    

  边界条件:对两端节点的约束。

  (B1)自然(natural (or free))边界条件

    

  (B2)固定(clamped)边界条件

    固定一阶导数:

     ,

    固定二阶导数:

    

  (B3)非节点边界(not-a-knot )

    要求在第二个节点  和倒数第二个节点 ,曲线的三阶导也连续:

    

    

三次多样式函数的计算

  样条函数采用n-1个三次多项式,每个三次多项式有4个参数,一共是4n-4个参数,

因此需要4n-4个方程。

    条件(1)n-1个曲线每个两端经过节点,提供2(n-1)=2n-2个方程;

    条件(2)n-1个曲线相邻一阶导连续,提供n-2个方程;

    条件(3)n-1个曲线相邻二阶导连续,提供n-2个方程;

  以上一共是4n-6个方程,还需要2个方程,这两个方程由边界条件提供,条件(B1), (B2), (B3)

每个均提供2个方程,这样就凑够了4n-4个方程。

  

计算的例子

  n个节点,n-1条曲线。在区间  内,令第i条曲线为:

    

  一二三阶导分别为:

    一阶:  

    二阶:  

    三阶:  

  接下来,套用节点条件和边界条件:

  先假设相邻节点横纵坐标的差值分别为: 

    条件(1):曲线  已经满足第一个式子:

    第二式

      (I)    

    条件(2):

      (II)      

    条件(3):

      (III)           

    边界条件以非节点(Not-A_Knot)条件为例, 得:

      (IV)  

  联立方程(I)和(II), 分别消去  和  得:

    ,     

  带入方程(III)得:

    (V)    

  这里i的最大值应该取不到n-3,当i=n-3时,上式左边将出现 ,而参数a的范围是从0到n-2,

所以不存在这项,此式一共是n-2个方程。

    另外,方程(II)和(III)都不支持 ,需要单独计算 

    由方程(I),(III)分别有:

      

      

    =>

      

      

  由边界条件方程(IV)中的  得:

    

  方程(V)取i=0有:

    

  与上式联立消去,得:

    (VI)  

  另由  得:

    (VII)   

  方程(V), (VI), (VII)联立,n-1个方程,n-1个未知数(),参数a得解,然后在算出参数b和c即可。

References:

[1] Wikipedia: spline interpolation

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