三次样条插值 cubic spline interpolation
什么是三次样条插值
插值(interpolation)是在已知部分数据节点(knots)的情况下,求解经过这些已知点的曲线,
然后根据得到的曲线进行未知位置点函数值预测的方法(未知点在上述已知点自变量范围内)。
样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法,在技术制图中,使用软尺连接两个相邻数据点,
以达到连接曲线光滑的效果。
样条插值是一种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。数学上,曲线光滑需要在曲线上处处一阶导连续,
因此,在节点处需要满足一阶导数相等。另外,为了使得曲线的曲率最小,要求曲线二阶导连续【1】,
在节点处需要二阶导相等。
三次及以上多项式可以满足节点处光滑和曲率最小要求,但是次数高的曲线容易震荡,因此,就选用三次多项式即可。
数学表述
假设有n个已知节点:
函数关系记为: 。
在区间 中插值多项式曲线:
注意,这里头曲线为,尾曲线为
。
插值在节点处满足条件:
(1)曲线经过节点:
(2)曲线一阶导连续(光滑):
(3)曲线二阶导连续(曲率最小):
边界条件:对两端节点的约束。
(B1)自然(natural (or free))边界条件
(B2)固定(clamped)边界条件
固定一阶导数:
,
固定二阶导数:
,
(B3)非节点边界(not-a-knot )
要求在第二个节点 和倒数第二个节点
,曲线的三阶导也连续:
三次多样式函数的计算
样条函数采用n-1个三次多项式,每个三次多项式有4个参数,一共是4n-4个参数,
因此需要4n-4个方程。
条件(1)n-1个曲线每个两端经过节点,提供2(n-1)=2n-2个方程;
条件(2)n-1个曲线相邻一阶导连续,提供n-2个方程;
条件(3)n-1个曲线相邻二阶导连续,提供n-2个方程;
以上一共是4n-6个方程,还需要2个方程,这两个方程由边界条件提供,条件(B1), (B2), (B3)
每个均提供2个方程,这样就凑够了4n-4个方程。
计算的例子
n个节点,n-1条曲线。在区间 内,令第i条曲线为:
一二三阶导分别为:
一阶:
二阶:
三阶:
接下来,套用节点条件和边界条件:
先假设相邻节点横纵坐标的差值分别为: ,
。
条件(1):曲线 已经满足第一个式子:
;
第二式 :
(I)
条件(2):
(II)
条件(3):
(III)
边界条件以非节点(Not-A_Knot)条件为例, 得:
(IV) ,
联立方程(I)和(II), 分别消去 和
得:
,
带入方程(III)得:
(V)
这里i的最大值应该取不到n-3,当i=n-3时,上式左边将出现 ,而参数a的范围是从0到n-2,
所以不存在这项,此式一共是n-2个方程。
另外,方程(II)和(III)都不支持 ,需要单独计算
:
由方程(I),(III)分别有:
=>
由边界条件方程(IV)中的 得:
方程(V)取i=0有:
与上式联立消去,得:
(VI)
另由 得:
(VII)
方程(V), (VI), (VII)联立,n-1个方程,n-1个未知数(),参数a得解,然后在算出参数b和c即可。
References:
[1] Wikipedia: spline interpolation
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