【uoj#317】[NOI2017]游戏 2-SAT

题目描述

给出 $n$ 个赛车赛道和A、B、C三种赛车，除了 $d$ 个赛道可以使用所有三种赛车以外每个都只能使用给出的两种之一。另外给出 $m$ 条限制：某个赛道使用X则某另一个赛道必须使用Y。问：是否存在一种方案满足所有条件？输出一种合法方案。

$n\le 50000,d\le 8,m\le 100000$ 。

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题解

2-SAT

3-SAT是NP完全问题，由于 $d$ 只有 $8$ ，因此考虑枚举每个万能位置的取值，转化为2-SAT问题。

那么对于一条限制，显然描述对应着一条边；另外一个命题的逆否命题，因此则有：第二个不用Y，第一个就不能用X，还要连这样的边（考场上没有想到对称边，还以为标算不是2-SAT）。

特殊情况：
第一个没有X，则无视这条边；
第二个没有Y，则第一个不能选X，第一个选X向不选X连边。

然后跑tarjan，对立点在同一强连通分量里则不成立，否则有解。缩点建新图跑拓扑排序，对立点中先排到的点不选，后排到的选。

这里有一个小trick：tarjan中强连通分量的编号顺序就是逆拓扑序（考虑tarjan的过程，挺好理解的），因此不用实际拓扑排序，直接比较对立点所属强连通分量编号即可，较小的那个是相应方案。

这样枚举万能位置的选择，每个位置有三种情况。考虑到枚举万能位置不能选什么，一次可以选出两种，只需要枚举两种情况。

时间复杂度 $O(2^dm)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int n , m , flag , px[N] , vx[N] , py[N] , vy[N] , head[N] , to[N << 1] , next[N << 1] , cnt , deep[N] , low[N] , tot , ins[N] , sta[N] , top , bl[N] , num;
char str[N >> 1] , sx[3] , sy[3];
inline void add(int x , int y)
{
	to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
inline int getid(int p , int v)
{
	if(str[p] == 'a') return v == 0 ? 0 : p * 2 + v - 1;
	else if(str[p] == 'b') return v == 1 ? 0 : p * 2 + v / 2;
	else return v == 2 ? 0 : p * 2 + v;
}
void tarjan(int x)
{
	int i;
	deep[x] = low[x] = ++tot , ins[x] = 1 , sta[++top] = x;
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
	{
		if(!deep[to[i]]) tarjan(to[i]) , low[x] = min(low[x] , low[to[i]]);
		else if(ins[to[i]]) low[x] = min(low[x] , deep[to[i]]);
	}
	if(deep[x] == low[x])
	{
		int t;
		num ++ ;
		do
		{
			t = sta[top -- ];
			ins[t] = 0 , bl[t] = num;
		}while(t != x);
	}
}
void solve()
{
	int i , x , y;
	memset(head , 0 , sizeof(head));
	memset(deep , 0 , sizeof(deep));
	cnt = tot = top = num = 0;
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
	{
		x = getid(px[i] , vx[i]) , y = getid(py[i] , vy[i]);
		if(x)
		{
			if(y) add(x , y) , add(y ^ 1 , x ^ 1);
			else add(x , x ^ 1);
		}
	}
	for(i = 2 ; i <= 2 * n + 1 ; i ++ ) if(!deep[i]) tarjan(i);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) if(bl[i << 1] == bl[i << 1 | 1]) return;
	flag = 1;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		if(str[i] == 'a') putchar(bl[i << 1] < bl[i << 1 | 1] ? 'B' : 'C');
		else if(str[i] == 'b') putchar(bl[i << 1] < bl[i << 1 | 1] ? 'A' : 'C');
		else putchar(bl[i << 1] < bl[i << 1 | 1] ? 'A' : 'B');
	}
	puts("");
}
void dfs(int x)
{
	if(flag) return;
	if(x > n)
	{
		solve();
		return;
	}
	if(str[x] == 'x') str[x] = 'a' , dfs(x + 1) , str[x] = 'b';
	dfs(x + 1);
}
int main()
{
	int i;
	scanf("%d%*d%s%d" , &n , str + 1 , &m);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%s%d%s" , &px[i] , sx , &py[i] , sy) , vx[i] = sx[0] - 'A' , vy[i] = sy[0] - 'A';
	dfs(1);
	if(!flag) puts("-1");
	return 0;
}