【BZOJ2756】奇怪的游戏（二分，网络流）

题面

Description

Blinker最近喜欢上一个奇怪的游戏。

这个游戏在一个 N*M 的棋盘上玩，每个格子有一个数。每次 Blinker 会选择两个相邻

的格子，并使这两个数都加上 1。

现在 Blinker 想知道最少多少次能使棋盘上的数都变成同一个数，如果永远不能变成同

一个数则输出-1。

Input

输入的第一行是一个整数T，表示输入数据有T轮游戏组成。

每轮游戏的第一行有两个整数N和M，分别代表棋盘的行数和列数。

接下来有N行，每行 M个数。

Output

对于每个游戏输出最少能使游戏结束的次数，如果永远不能变成同一个数则输出-1。

Sample Input

2 2

1 2

2 3

3 3

1 2 3

2 3 4

4 3 2

Sample Output

-1

HINT

【数据范围】

对于30%的数据，保证 T<=10，1<=N,M<=8

对于100%的数据，保证 T<=10，1<=N,M<=40，所有数为正整数且小于1000000000

题解

我竟然调了$1h+....$

我们假设知道了要把他们都变成$x$

如何检验$x$是否可行？

很明显，棋盘黑白染色之后，永远都是一个黑点和一个白点一起加一

所以黑点加的次数和白点加的次数一定相同

同样的，我们知道一个黑点要加多少次

现在的问题不过变成了黑点加的若干次如何分配给白点

因为只能加给邻边，黑白染色之后向相邻的格子连容量为$inf$的边就行了

最后只需要检查是否满流即可。

当黑白格子数量相同的时候，显然答案可以二分

假设我们都可以加到一个最小的$x$

那么，一个黑格子唯一确定一个白格子

所有格子就可以都加一，因此也可以得到任何一个大于$x$的数

所以二分+判定即可

当黑白格子数量不同

此时可行的$x$应该唯一确定

我们求出白格子的和$S1$，黑格子的和$S2$

不妨设白格子数量为$c1$，黑格子数量为$c2$,且$c1>c2$

因为每一次都是一个黑格加一，一个白格加一

所以$x=\frac{S1-S2}{C1-C2}$

证明？算了，随便写一下

\[xc1-S1=xc2-S2
\]

移过去除一下检查是否可行即可。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define ll long long

#define RG register

#define INF (1ll<<50)

#define MAX 2000

inline int read()

{

    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();

    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();

    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

    return x*t;

}

struct Line{int v,next;ll w;}e[MAX<<4];

int h[MAX],cnt;

inline void Add(int u,int v,ll w)

{

	e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;

	e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;

}

void init(){memset(h,0,sizeof(h));cnt=2;}

int level[MAX],S,T;

bool bfs()

{

	memset(level,0,sizeof(level));level[S]=1;

	queue<int> Q;Q.push(S);

	while(!Q.empty())

	{

		int u=Q.front();Q.pop();

		for(int i=h[u];i;i=e[i].next)

			if(e[i].w&&!level[e[i].v])

				level[e[i].v]=level[u]+1,Q.push(e[i].v);

	}

	return level[T];

}

ll dfs(int u,ll flow)

{

	if(u==T||!flow)return flow;

	ll ret=0;

	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)

		if(e[i].w&&level[e[i].v]==level[u]+1)

		{

			ll d=dfs(e[i].v,min(flow,e[i].w));

			ret+=d;flow-=d;

			e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;

		}

	if(!ret)level[u]=0;

	return ret;

}

ll Dinic()

{

	ll ret=0;

	while(bfs())ret+=dfs(S,INF);

	return ret;

}

int n,m,a[45][45],bh[45][45];

int d[4][2]={-1,0,0,-1,1,0,0,1};

ll sum1,sum2;

bool check(ll x)

{

	init();ll tot=0;

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int j=1;j<=m;++j)

			if((i+j)&1)

			{

				tot+=x-a[i][j];Add(S,bh[i][j],x-a[i][j]);

				for(int k=0;k<4;++k)

				{

					int xx=i+d[k][0],yy=j+d[k][1];

					if(!(xx&&yy&&xx<=n&&yy<=m))continue;

					Add(bh[i][j],bh[xx][yy],INF);

				}

			}

			else Add(bh[i][j],T,x-a[i][j]);

	return Dinic()==tot;

}

int main()

{

	int TT=read();

	while(TT--)

	{

		n=read();m=read();sum1=sum2=0;

		int tot=0,mx=0,whi=0,blk=0;

		for(int i=1;i<=n;++i)

			for(int j=1;j<=m;++j)

				mx=max(a[i][j]=read(),mx),bh[i][j]=++tot;

		for(int i=1;i<=n;++i)

			for(int j=1;j<=m;++j)

				if((i+j)&1)sum1+=a[i][j],++whi;

				else sum2+=a[i][j],++blk;

		S=0;T=tot+1;

		if(whi!=blk)

		{

			ll x=(sum1-sum2)/(whi-blk);

			if(x>=mx&&check(x))printf("%lld\n",x*whi-sum1);

			else puts("-1");continue;

		}

		if(sum1!=sum2){puts("-1");continue;}

		ll l=mx,r=1ll<<35;

		while(l<=r)

		{

			ll mid=(l+r)>>1ll;

			if(check(mid))r=mid-1;

			else l=mid+1;

		}

		printf("%lld\n",l*whi-sum1);

	}

	return 0;

}