数论初步(费马小定理) - Happy 2004

Description

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.
Input

The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).

A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.
Output

For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.
Sample Input

1
10000
0
Sample Output

6
10

-----------------------------------------------------------------我是分割线^_^--------------------------------------------------------------------------------

这个题的题目倒是挺happy的，做题的我一点都不happy，我一直在想这都什么方法，毕竟水太深了，我也溺水了= =
老样子，先解释题目：题目的意思就是给定一个X，要求求出2004的X次方的因数和，因数和嘛，比如4的因数和就是
1 + 2 + 4 = 7，然后呢，题目的意思就是这样，然偶我就懵比了，懵比了很久搜题解去了，搜到了还是懵比，什么鬼题解，
就不能说详细一点吗，详细一点的打字又不准确，不理解的部分有那么多.............算了不吐槽了= =

先来一条科普：费马小定理,
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

结合一下同余德定理，a^(p - 1)%p = 1%p = 1,也就是说，在一些情况下可以把1替换成前面那个东西，等一下有用。

看着题目当然没头绪，直接来方法吧，我们先把2004分解质因数，得到了2，3，167，这些东西有什么用呢？下面再来看看一个新东西

一个数的因子和是一个积性函数
关于积性函数，即F(ab)=F(a)*F(b)，在数论里有很多积性函数

来证明一下：

S(x)表示x的因子和。

如果x可以分成a,b（一定为素数），那么S(x)=S(a)*S(b）。

为什么一定要分成素数呢，因为一个素数的因子之后1和它本身，对于a,b 来说，就是1,a,1,b，那么x=a*b,x的因子只有1，a, b，x这四个数，

这就是所谓的一个数的因子和是一个积性函数。

则题目求为:S(2004^X)mod 29

那么可以知道：2004=4 * 3 *167(注意到4不是质数，但使用要求必须是质数，所以要替换成2的平方)
S(2004^X)=S(2^(2X)) * S(3^X) * S(167^X)

如果 p 是素数 则其因子只有1和它本身，因此在求其因数和的时候可以使用等比数列的求和公式，不懂得自己去用错位相减法重温一下高中知识= =，

所以有：S(p^X)=1+p+p^2+...+p^X = (p^(X+1)-1)/(p-1)，这个表达式的意思是求p的x次方的这个数的因数和

所以：S(2004^X) % 29 = (2^(2X+1)-1) % 29 * (3^(X+1)-1)/2 % 29 * (167^(X+1)-1)/166 % 29，

因为答案是要对29取模的，所以前面一项可以动用快速幂取模算出来了，可是后面两个带有除法就有点难搞了，

在乘法中可以a*b%c = (a%c * b%c)%c, 加法中也可以有(a+b+c)%c = (a+(b+c)%c)%c,减法也是有的，和加法一样，

可惜的是除法是个奇葩，它非主流= =，所以不能这样这样算，不信的话你算一算(14/2)%4,你换成（14%4） / （2%4）答案

是不一样的，这个时候就要用到一种叫做逆元的东西，它的作用是把除法改成乘法取模，比如a/b % c 可以改成 a * b^(c-2)%c,

其中b^(c-2)%c就是b的逆元,这只是逆元的一种求解方法，由于结合了费马小定理，这种方法比较适合于计算机，因为可以用快速幂

取模进行运算求解，现在来开始变化：a/b % c = a * b^(-1) % c = a * b^(-1) * 1 % c,然后倒回去看上面的费马小定理的下面

那一条小提示，就可以把1替换了，结果变成了a * b^(-1) * b^(c-1) % c = a * b^(c-2) % c,好的，如此一来就顺利完成的转换，

除法的取模也变成的乘法，接下来就可以使用快速幂取模进行大屠杀了，不过写代码的时候要注意减一（等比数列求和）..........

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;

int Mod(int a, int b, int c) {//快速幂取模算出a的b次方模c的结果
    int ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans = ans * a % c;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % c;
    }
    return ans;
}

int main()//如果看n有点不习惯，就按照上面的习惯看，把n换成x就行了
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    int n;
    while (scanf("%d", &n), n) {
        int a = Mod(2, 2 * n + 1, 29) - 1;//求S(a)

        int b = (Mod(3, n + 1, 29) - 1) * Mod(2, 27, 29);//求S(b)

        int c = (Mod(22, n + 1, 29) - 1) * Mod(21, 27, 29);//这里把167换成了22，是因为22与167对29是同余的，所以简化一下,求S(c)
        printf("%d\n", a * b * c % 29);//这里就是答案，S(答案) = S(a) * S(b) * S(c),还不理解就上去看看奇性函数= =
    }
    return 0;
}