NOI2013部分题解

Day 1

T1:向量内积

直接暴力有60。发现将n个向量合成$n\times d$的矩阵$A$，然后求$A\times A^T$，得到的矩阵包含了所有的答案。

先考虑$k=2$，将答案矩阵和全1矩阵比较，为0的地方就是答案。

回忆一个十分经典的问题：判断$A\times B$是否与$C$相等。

先随机一个行向量v，若$v\times(A\times B)=v\times A \times B\neq v\times C$，则直接返回$false$。多次随机，成功率为$1-(\frac12)^{times}$。

这种随机化算法通常用于：某对命题充分性和必要性仅具备一个，所以多做几次判定就能提高正确率。$Miller-Rabin$算法就是一个典型的例子。

回到这道题，应用lych的话：

假设对于i，我们求出i之前的所有向量与i的点积的和；如果所有的点积都>0 即=1，那么显然点积的和对二取模=(i-1)%2；否则如果≠(i-1)%2，显然i与i前面的某一个向量的点积=0，我们O(ND)寻找答案即可。但 是这样不一定能得到解，我们不妨随机打乱向量的顺序然后判断，这样至少是1-(1/2)^5的正确率了。

问题在3怎么做，因为不为0可能意味着为1或2，不能确定答案，但是发现在模意义下$1^2\equiv 2^2 (mod 3)$。所以只要平方一下就好了。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 using namespace std;

 const int N=,M=;
 int n,m,mod,a[N][M],q[N],b[M],c[M][M];

 bool check(int x,int y){
     int tmp=;
     rep(i,,m) tmp+=a[x][i]*a[y][i];
     return !(tmp%mod);
 }

 int solve(int x){
     int ans=;
     if (mod==)
         rep(i,,m) ans^=b[i]&a[x][i],b[i]^=a[x][i];
     else
         rep(i,,m) rep(j,,m) ans+=c[i][j]*a[x][i]*a[x][j],c[i][j]+=a[x][i]*a[x][j];
     return ans%mod;
 }

 int main(){
     freopen("meow.in","r",stdin);
     freopen("meow.out","w",stdout);
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
     rep(i,,n) rep(j,,m) scanf("%d",&a[i][j]),a[i][j]%=mod;
     rep(i,,n) q[i]=i;
     for (int T=-mod; T--; ){
         if (mod==) memset(b,,sizeof(b)); else memset(c,,sizeof(c));
         rep(i,,n) swap(q[i],q[rand()%(i-)+]);
         rep(i,,n) if (solve(q[i])!=(i-)%mod)
             rep(j,,i-) if (check(q[i],q[j])){
                 if (q[i]>q[j]) swap(i,j);
                 printf("%d %d\n",q[i],q[j]); return ;
             }
     }
     puts("-1 -1");
     return ;
 }

T2:树的计数

想不到的DP题，略。

T3:小Q的修炼

这个题由于我码力极弱，玩了两个小时只写出一个暴搜拿了20+分。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 using namespace std;

 const int N=,M=;
 int n,m,k,mx,tot,v[N],res[N],tmp[N];
 char ch,cc,op;
 struct P{ int op,a,b,c,d,u,v; }S[];

 void dfs(int x,int p){
     if (x>M) return;
     if (p< || p>n){
         if (v[]>mx){ mx=v[]; tot=x-; rep(i,,tot) res[i]=tmp[i]; }
         return;
     }
     int T[N],T2[N];
     rep(i,,m) T[i]=v[i];
     while (){
         if (S[p].op==){
             int t=S[p].c;
             if (S[p].b==) t=v[S[p].c];
             if (S[p].d) t=-t;
             v[S[p].a]+=t; p++;
             if (p< || p>n){
                 if (v[]>mx){ mx=v[]; tot=x-; rep(i,,tot) res[i]=tmp[i]; }
                 rep(i,,m) v[i]=T[i];
                 return;
             }
             continue;
         }
         if (S[p].op==){
             int x1,x2;
             if (S[p].a==) x1=S[p].b; else x1=v[S[p].b];
             if (S[p].c==) x2=S[p].d; else x2=v[S[p].d];
             if (x1<x2) p=S[p].u; else p=S[p].v;
             if (p< || p>n){
                 if (v[]>mx){ mx=v[]; tot=x-; rep(i,,tot) res[i]=tmp[i]; }
                 rep(i,,m) v[i]=T[i];
                 return;
             }
             continue;
         }
         if (S[p].op==){
             rep(i,,m) T2[i]=v[i];
             tmp[x]=; dfs(x+,S[p].a);
             rep(i,,m) v[i]=T2[i];
             tmp[x]=; dfs(x+,S[p].b);
             rep(i,,m) v[i]=T[i];
             return;
         }
     }
 }

 int main(){
     freopen("train.in","r",stdin);
     freopen("train.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m);
     rep(i,,n){
         scanf(" %c",&op);
         if (op=='v'){
             S[i].op=; scanf("%d",&S[i].a);
             scanf(" %c %c",&cc,&ch);
             if (ch=='c') S[i].b=; else S[i].b=;
             scanf("%d",&S[i].c); if (cc=='-') S[i].d=;
         }
         if (op=='s'){
             S[i].op=; scanf("%d%d",&S[i].a,&S[i].b);
         }
         if (op=='i'){
             S[i].op=;
             scanf(" %c",&ch);
             if (ch=='c') S[i].a=; else S[i].a=;
             scanf("%d",&S[i].b);
             scanf(" %c",&ch);
             if (ch=='c') S[i].c=; else S[i].c=;
             scanf("%d",&S[i].d);
             scanf("%d%d",&S[i].u,&S[i].v);
         }
     }
     dfs(,);
     rep(i,,tot) printf("%d\n",res[i]);
     return ;
 }

4,5,6都是DP，较复杂，略。

7,8,9,10是DP+暴力，略。

仔细观察第3个点，发现格式是每170行成为一段，段与段之间是互不影响的，所以直接段内暴搜，整体合并即可。

发现自己非常不擅长玩提答，稍微总结一下这种题的套路吧（虽然这种题没有太多套路）

1. 对码力要求较高，玩提答的时候动作一定要快，不能沉迷到游戏里去了。

2. 一般有这几种考察点：手玩，暴搜，贪心，DP，网络流，模拟退火。有些题里面会放数论算法的点。

3. 针对每个考察点需要注意的是：手玩不要搞复杂，感觉手玩比较难的时候不如考虑写暴搜。

4. 也不要一开始就急着先写暴搜，如果暴搜较复杂的话不如先看看后面的点。暴搜一般的收获是前两个点的满分和后面所有点的1~2分。

5. 一般不会有两个完全一样的点，但可能会有后面的点只是前面的代码稍作修改，或者要多跑一会而已。

6. 要多想DP和贪心，有时网络流和匈牙利也很有用。模拟退火+随机调整感觉凭自己水平还很难写出来，多写写随机化贪心。

7. 不要因为提答丢失了前面传统题的分。

Day 2

T1:矩阵游戏

最简单的一道题。首先已知f[i][1]可以通过等比数列求和公式轻松推出f[i][m]。然后合并系数可以轻松从f[1][1]得到f[n][1]，最后直接从f[n][1]推到f[n][m]即可。注意公比为1要特殊处理。

关于读入，由于n和m在公比不为1时是指数，为1时是系数，所以要边读边mod p或p-1。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 using namespace std;

 const int mod=;
 int n,m,a,b,c,d,n1,m1,X,Y;
 char s[];

 void Rd(int &n,int &n1){
     scanf("%s",s+); int l=strlen(s+); n=; n1=;
     rep(i,,l) n=(n*10ll+s[i]-'')%(mod-),n1=(n1*10ll+s[i]-'')%mod;
 }

 int ksm(int a,int b){
     int res=;
     for (; b; a=1ll*a*a%mod,b>>=)
         if (b&) res=1ll*res*a%mod;
     return res;
 }

 void cal1(int a,int b,int n){ if (n<) n+=mod; X=; Y=1ll*n*b%mod; }
 void cal(int a,int b,int n){ if (n<) n+=mod-; X=ksm(a,n); Y=1ll*(X-)*ksm(a-,mod-)%mod*b%mod; }

 int main(){
     freopen("matrix.in","r",stdin);
     freopen("matrix.out","w",stdout);
     Rd(n,n1); Rd(m,m1); scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
     if (a==) cal1(a,b,m1-); else cal(a,b,m-);
     int p=X,q=Y,w=(p+q)%mod,u=1ll*c*p%mod,v=(1ll*c*q+d)%mod;
     if (u==) cal1(u,v,n1-); else cal(u,v,n-);
     w=(1ll*X+Y)%mod; w=(1ll*p*w+q)%mod; printf("%d\n",w);
     return ;
 }

T2:书法家

较复杂的DP，略。

T3:快餐店

首先如果是树，答案显然为直径的一半，这启发我们不要太深入的考虑环套树DP，而是使用常规的破环成树的方法。

显然所有点对间的最短路径可以都不经过某条边，枚举这条不需要的边，破环成树，在树上做前缀和与前缀最大值，再搞一搞就好了。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
 typedef long long ll;
 using namespace std;

 const int N=;
 int n,cnt,tot,tim,u,v,w,dfn[N],fa[N],a[N],b[N],c[N],h[N],to[N<<],nxt[N<<],val[N<<];
 ll f[N],u1[N],u2[N],v1[N],v2[N],ans;
 bool d[N];

 void add(int u,int v,int w){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; val[cnt]=w; h[u]=cnt; }

 void dfs(int x){
     dfn[x]=++tim;
     For(i,x) if ((k=to[i])!=fa[x]){
         if (!dfn[k]){ fa[k]=x; c[k]=val[i]; dfs(k); }
         else if (dfn[k]>dfn[x]){
             for (; k!=x; k=fa[k]) d[k]=,a[++tot]=k,b[tot]=c[k];
             d[x]=; a[++tot]=x; b[tot]=val[i];
         }
     }
 }

 void DP(int x,int fa){
     For(i,x) if ((k=to[i])!=fa && !d[k])
         DP(k,x),ans=max(ans,f[x]+f[k]+val[i]),f[x]=max(f[x],f[k]+val[i]);
 }

 int main(){
     freopen("food.in","r",stdin);
     freopen("food.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     rep(i,,n) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,w),add(v,u,w);
     dfs(); ll sm=,mx=;
     rep(i,,tot) DP(a[i],);
     rep(i,,tot){
         sm+=b[i-]; u1[i]=max(u1[i-],f[a[i]]+sm);
         v1[i]=max(v1[i-],f[a[i]]+sm+mx);
         mx=max(mx,f[a[i]]-sm);
     }
     ll tmp=b[tot]; sm=mx=b[tot]=;
     for (int i=tot; i; i--){
         sm+=b[i]; u2[i]=max(u2[i+],f[a[i]]+sm);
         v2[i]=max(v2[i+],f[a[i]]+sm+mx);
         mx=max(mx,f[a[i]]-sm);
     }
     ll mn=v1[tot];
     rep(i,,tot-) mn=min(mn,max(max(v1[i],v2[i+]),u1[i]+u2[i+]+tmp));
     ans=max(ans,mn); printf("%lld.%d\n",ans>>,(ans&)?:);
     return ;
 }