Unity Shader入门精要读书笔记（三）Shader必须的数学基础

Xyz三维坐标系如下：左手坐标系

但是摄像机观察空间则是采用右手系：

右手法则判断叉乘的结果的方向；

正交矩阵（单位互相垂直的基矢量构成正交矩阵）具有逆与转置一致性；

列矩阵运算CBAv和行矩阵的运算vATBTCT一致；

平移变换不是一个线性变换；

仿射变换合并了线性变换和平移变换，在齐次坐标空间中进行；

纯平移、纯旋转和纯放缩的变换称为基础变换，那么一个齐次坐标矩阵如下：

其中M表示缩放和旋转，t表示平移，0表示0,1表示1；

为什么呢？

从C空间变到P空间的矩阵：

其中Oc是选取的原点，xcyczc是C下的P的基矢量（不一定要是单位的）；
对于矢量从C空间变到P空间中，则只需要：

如果是正交矩阵的话，可以轻易地得到反推的矩阵（读取行即可）；

[正交矩阵] 利用试探法写MA->B，已知B空间的基矢量是xbybzb（用A来描述），那么xb（用A系来描述B的x基矢量）经过A到B的转换后，得到的应该是100；

模型变换：从模型空间到世界空间；

先缩放、后旋转、后平移；

摄像机的放置：缩放（不缩放）、旋转（镜头的旋转）、平移（镜头的平移），即摄像机有一个transform；由于观察空间是一个右手系，所以对z进行取反，即和[1000; 0100 ;00-10 ; 0001]相乘，得到观察变换矩阵，也就是以镜头位置为原点，以镜头指向为坐标轴（其中镜头后方为+z）的坐标系；

齐次裁剪空间，这个空间的变换矩阵称为裁剪矩阵或者投影矩阵；

利用三角形关系和FOV可以知道近裁平面和远裁平面的高度

Aspect是宽高比，那么从观察空间（摄像机做原点）到裁剪空间为：

经过裁剪变换后，所有不满足xyz限定在±w内的片元都被丢弃；

正交投影的裁剪变换如下：

所有不满足xyz在±1以内的，都被裁剪；

透视除法：就是用w分量去除以xyz分量（限定在了-1到1的立方体内）

正交投影的齐次除法就是除以1：

在Unity中屏幕空间左上角是原点，右下角是pixelW和pixelH，那么就有最后一个从齐次除法后到屏幕映射：

其中clipx是裁剪空间中的x，clipw是裁剪空间中的w；

为了将法向量从A空间变换到B空间，直接和Mab相乘是不对的。变换到B切线方向记为Tb，Nb记为变换到B的法线方向，那么满足点积为零的约束：（我们希望求得G表示法线从A到B的变换矩阵）

如果Mab是正交矩阵（即旋转），那么直接和Mab相乘是正确的，如果带有统一放缩k，那么；