最短路径——Floyd，Dijkstra（王道）

题目描述：

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

输入：

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
当输入为两个0时，输入结束。

输出：

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间。

样例输入：

2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0

样例输出：

3
2

Floyd:时间复杂度为O(n^3),利用二维矩阵，当两个节点之间有多余的一条边，选择最小的边权值存入邻接矩阵
      适合要求询问多个节点对之间的最短路径长度问题。

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int ans[][];
    int n,m;
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){
        if(n==&&m==)
            break;
        for(int i=;i<=n;i++){//邻接矩阵初始化
            for(int j=;j<=n;j++)
                ans[i][j]=-;
            ans[i][i]=;
        }
        while(m--){
            int a,b,cost;
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&cost);
            ans[a][b]=ans[b][a]=cost;//之前这个地方只写了一个，实际上这是无向图，应该是两个

        }
        for(int k=;k<=n;k++){//依次经过中间节点
            for(int i=;i<=n;i++){
                for(int j=;j<=n;j++){
                    if(ans[i][k]==- || ans[k][j]==-)//不能经过节点k而被更新
                        continue;
                    if(ans[i][j]==- || ans[i][k]+ans[k][j]<ans[i][j])//由于经过k可以获得更短的最短路径，更新该值
                        ans[i][j]=ans[i][k]+ans[k][j];
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans[][n]);//循环结束后输出答案
    }

    return ;
}

Dijkstra:时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n)，适合从某一个特定的起点出发，到达其他所有节点的最短路径。

#include <iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
struct E{//邻接链表中的链表元素结构体
    int next;//直接相邻的节点
    int cost;//该边的权值
};

int main()
{
    vector<E> edge[];//邻接链表
    bool mark[];//mark[j]=true表示节点j的最短路径长度已经得到，该节点已经加入集合k
    int Dis[];/**距离向量，当mark[i]为true时，表示已得的最短路径长度；
                否则，表示所有从节点1出发，经过已知的最短路径达到集合K中的某节点，
                再经过一条边到达节点i的路径中最短的距离*/

    int n,m;
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){
        if(n== && m==)
            break;
        for(int i=;i<=n;i++)
            edge[i].clear();//初始化邻接链表
        while(m--){
            int a,b,c;
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            struct E temp;
            temp.cost=c;
            temp.next=b;
            edge[a].push_back(temp);
            temp.next=a;
            edge[b].push_back(temp);//邻接信息加入邻接链表
        }
        for(int i=;i<=n;i++){//初始化
            Dis[i]=-;
            mark[i]=false;
        }
        Dis[]=;//得到最近的点为节点1，长度为0
        mark[]=true;//将节点1加入集合K
        int newP=;//集合K中新加入的点为节点1
        for(int i=;i<n;i++){//循环n-1次，按照最短路径递增的顺序确定其他n-1个点的最短路径长度
            for(int j=;j<edge[newP].size();j++){//遍历与该新加入集合K中的节点直接相邻的边
                int t=edge[newP][j].next;//该边的另一个节点
                int c=edge[newP][j].cost;//边的长度
                if(mark[t]==true)//如另一个边也属于集合K，跳过
                    continue;
                if(Dis[t]==-||Dis[t]>Dis[newP]+c)
                    Dis[t]=Dis[newP]+c;//更新距离信息
            }
            int min=;//最小值初始化
            for(int j=;j<=n;j++){//遍历所有节点
                if(mark[j]==true)//若其属于集合K跳过
                    continue;
                if(Dis[j]==-)//若该节点仍不可达则跳过
                    continue;
                if(Dis[j]<min){//若该节点经由节点1至集合K中的某点再经过一条边到达时距离小于当前最小值
                    min=Dis[j];//更新其为最小值
                    newP=j;//新加入的点暂定为该点
                }
            }
            mark[newP]=true;//新加入的点加入集合K
        }
        printf("%d\n",Dis[n]);
    }
    return ;
}

类似题目：网络的核（可以练练手）

题目描述

给定一个无向网络G，网络中共包含N个节点（从1到N编号），M条无向边，求该网络的核。

网络的核：到网络中其他节点的距离之和最小的节点。且对于不连通的两点，我们认为它们之间的距离为N，如果有多租借，输出编号最小的节点。

输入格式

输入的第一行是一个整数T（T<=25），表示输入的数据组数。，

对于每组测试数据：

第一行有两个整数N，M（1<=N<=50,0<=M<=N*(N-1)/2）,表示网络中有N个点，M条边。

接下来的M行，每行两个整数u,v（1<=u，v<=N,u!=v）,表示点u和点v之间有一条距离为1的边。任意两个点之间最多只会有一条边相连。

输出格式

对于每组测试数据，输出网络的核。

输入样例

2

3 3

1 2

1 3

2 3

4 2

1 2

2 3

输出样例

1

2