Solution Set - 贪心和数据结构

感觉自己好菜啊，这个专题真的不太会。

CF1439C Greedy Shopping

容易发现，当此人连续买了一段物品之后，他的钱数至少减半。所以他最多只会买 \(O(\log V)\) 段物品。那么就可以直接模拟每次询问，不断往后轮流找最多能买到的位置和下一个能买的位置。二者都可以线段树上二分，维护前缀和最大值和区间最大值。修改也是容易的。时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。

CF436E Cardboard Box

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考虑贪心，每次取当前能够取的代价最小的星。然而这肯定不对，所以打一个补丁：如果某个两星代价比最小的两个一星之和小，那么就先把它玩到一星。注意如果只差一颗星了是不采用这个策略的。正确性还是比较显然的。

CF1452G Game On Tree

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先做一次多源BFS，求出Bob占领每个点的最小时间 \(t_i\)。如果点 \(u,v\) 满足 \(dist(u,v)\le t_v\)，那么Alice从 \(u\) 开始可以先于Bob到达 \(v\)，这样就可以用 \(t_v\) 更新 \(u\) 为起点的答案。考虑点分树，记下每棵子树内的所有点及距离并排序，然后从每个点开始跳父亲，能更新的是一段前缀。直接二分即可。时空复杂度都是 \(O(n\log^2n)\)。

CF625E Frog Fights

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模拟，用一个链表维护所有青蛙。把发生“撞飞”的时间记在一个堆里，不断取堆顶模拟，更新链表和堆。

一个实现时的细节是，当一只青蛙撞飞另一只青蛙后，直接把它的初始位置往右移动经过的时间即可。

CF533A Berland Miners

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根到每个点的路径上有一个瓶颈，就是这条路径上的最小点。对每个点开一个vector，记下以它为瓶颈的所有路径。假设选择 \(u\) 增加一些，那么会导致一些路径的最小高度增加，这些路径一定都以 \(u\) 为瓶颈。一些路径仍然以 \(u\) 为瓶颈，其余的路径的最小高度会变成它的次小值。从小到大枚举 \(u\) 变成的高度，用权值线段树维护。具体来说，人的高度位置加上一个 \(-1\)，路径的高度位置加上一个 \(1\)，则后缀和始终非负时有方案。如果 \(u\) 变成某个高度时有方案了，那么上一个高度最后一个后缀和为负的位置就是 \(u\) 需要变成的最小高度。

CF1427F Boring Card Game

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首先不考虑轮流操作的限制，容易用栈模拟出一种方案：从左往右向栈里加数，如果栈顶的三个数属于同一个人就弹出栈顶。这样的方案肯定是存在的，因为保证了有解。

对于一组数 \(a\lt b\lt c\)，考虑完全包含在区间 \([a,c]\) 内的数组。在直接包含的数组间连边，得到一个森林。要求必须先取儿子再取父亲。显然有边相邻的两组数不会属于同一个人，那么轮流剥叶子就可以了。

CF671E Organizing a Race

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先考虑固定一个区间如何最小化增加量。从左往右扫，当某一段路开不过去的时候就给上一个点加油。也就是说每次都选择尽可能右边的点加油。最后如果还有剩的，全部留给右端点就行。

考虑用前缀和刻画，会发现选择加油的点可以用单调栈维护。那么从右往左扫描，维护单调栈，就可以用线段树维护出后缀和进行判断。固定左端点，假设已经通过加油使得左端点可以一直向右。先二分出一个最远的位置，使得到达它需要增加的量不超过 \(k\)。然后会发现一个事情：如果一个区间内有解，那么初始最大值最大的位置一定是解。 事实上我们要求的是右端点的后缀和最大，而右端点加了 \(k\)，前面的点加的都不超过 \(k\)，所以上面这个结论成立。直接在线段树上二分即可。

以上用自然语言描述了算法的框架，进行列式会更好理解。

CF1548E Gregor and the Two Painters

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我们在连通块内权值最小的位置统计答案。 一个点能够成为连通块内最小的点的条件是：首先它得是黑点，其次它不能只经过黑点到达一个权值比它小的点。如果权值相同，把横坐标作为第二关键字，纵坐标作为第三关键字。

会发现要进行这个判断，只要考虑单独往一个方向的情况。要求往上下左右都不能到达更小的位置。具体来说，假设考虑的点是 \((i,j)\)，\(a_i\) 左边不大于他的第一个点是 \(lsta_i\)，右边小于它的第一个点是 \(nxta_i\)，则要求 \((i,j)\) 不能到达 \((lsta_i,j),(nxta_i,j)\)，再加上对 \(b\) 类似的限制即可。

要“到不了”，就要求路径中间有一些不是黑点。记 \(ma_i=\min(\max_{j=lsta_i}^ia_j,max_{j=i}^{nxta_i}a_j\)，对 \(b\) 类似定义 \(mb_i\)。要求 \(a_i+b_j\le x,a_i+mb_j\gt x,ma_i+b_j\gt x\)。离线二维数点解决。