HDU校赛 | 2019 Multi-University Training Contest 2

2019 Multi-University Training Contest 2

http://acm.hdu.edu.cn/contests/contest_show.php?cid=849

1005. Everything Is Generated In Equal Probability

考虑一个随机的排列的逆序对个数，显然对于两个数\(a,b\)，他们位置是均匀排布的，也就是说有\(\frac{1}{2}\)的概率成为逆序对，并且是独立的。

所以一个长度为\(n\)的随机排列期望逆序对个数为\(\dfrac{\binom{n}{2}}{2}\)。

我们考虑\(dp\)，设\(f_i\)表示长度为\(i\)随机排列扔到给出的函数里的期望输出。

那么直接照着函数转移：

\[f_i=\frac{\binom{n}{2}}{2}+\frac{1}{2^n}\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}f_j
\]

暴力转移，\(O(1)\)回答就好了。

复杂度\(O(n^2+q)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;

int f[maxn],fac[maxn],ifac[maxn],n;

int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}

int c(int a,int b) {return 1ll*fac[a]*ifac[b]%mod*ifac[a-b]%mod;}

int main() {
    fac[0]=ifac[0]=1;
    for(int i=1;i<=3000;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*qpow(i,mod-2)%mod;
    for(int i=2;i<=3000;i++) {
        for(int j=2;j<=i-1;j++) f[i]=(f[i]+1ll*f[j]*c(i,j)%mod)%mod;
        f[i]=1ll*f[i]*qpow(qpow(2,i),mod-2)%mod;
        f[i]=(f[i]+1ll*c(i,2)*qpow(2,mod-2)%mod)%mod;
        f[i]=1ll*f[i]*qpow(1-qpow(qpow(2,i),mod-2)+mod,mod-2)%mod;
    }
    for(int i=1;i<=3000;i++) f[i]=(f[i-1]+f[i])%mod;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF) write(1ll*f[n]*qpow(n,mod-2)%mod);
    return 0;
}

1006. Fantastic Magic Cube

首先考虑对于每个单位立方体开一个点，所有联通的立方体用一条边连起来，边权为点权之积。

那么切开一个大立方体相当于断掉一些变，取边权。

显然无论如何切答案都是一样的。

那么直接统计答案就好了，设\(N=n^3,a_i\)表示点权：

\[ans=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^{N}a_ia_j=\dfrac{(\sum_{i=1}^{N}a_i)^2-\sum_{i=1}^{N}a_i^2}{2}
\]

那么用\(fwt\)求出每个权值出现了多少次，暴力算答案就好了。

复杂度\(O(n\log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

const int maxn = 2e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;
const int inv2 = 499122177;

int f[maxn],n,N;

void fwt(int *r,int op) {
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
        for(int j=0;j<N;j+=i<<1)
            for(int k=0;k<i;k++) {
                int x=r[j+k],y=r[i+j+k];
                r[j+k]=(x+y)%mod,r[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
                if(op==-1) r[j+k]=1ll*r[j+k]*inv2%mod,r[i+j+k]=1ll*r[i+j+k]*inv2%mod;
            }
}

void solve() {
    for(N=1;N<=n;N<<=1);
    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=1;
    for(int i=n;i<N;i++) f[i]=0;
    fwt(f,1);
    for(int i=0;i<N;i++) f[i]=1ll*f[i]*f[i]%mod*f[i]%mod;
    fwt(f,-1);int ans=0,tmp=0;
    for(int i=1;i<N;i++)
        ans=(ans+1ll*i*f[i]%mod)%mod,tmp=(tmp+1ll*i*i%mod*f[i]%mod)%mod;
    ans=1ll*ans*ans%mod;ans=(ans-tmp+mod)%mod;
    write(1ll*ans*inv2%mod);
}

int main() {
    while(scanf("%d",&n)!=EOF) solve();
    return 0;
}

1008. Harmonious Army

二元组建图模板题。。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

const int maxn = 500+10;
const int inf = 1e18;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;

int head[maxn],tot=1,s,t,n,m,r[maxn][maxn],ans;
struct edge{int to,nxt,w;}e[maxn*maxn];

void add(int u,int v,int w) {e[++tot]=(edge){v,head[u],w},head[u]=tot;}
void ins(int u,int v,int w) {add(u,v,w),add(v,u,0);}

int dis[maxn];

int bfs() {
    memset(dis,-1,sizeof dis);
    queue<int > q;q.push(s);dis[s]=0;
    while(!q.empty()) {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
            if(e[i].w>0&&dis[e[i].to]==-1) {
                dis[e[i].to]=dis[x]+1;
                if(e[i].to==t) return 1;
                q.push(e[i].to);
            }
    }return 0;
}

int dfs(int x,int flow) {
    if(x==t) return flow;
    int used=0;
    for(int v,i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        if(dis[v=e[i].to]==dis[x]+1&&e[i].w>0) {
            int d=dfs(e[i].to,min(e[i].w,flow));
            e[i].w-=d,e[i^1].w+=d,used+=d,flow-=d;
            if(!flow) break;
        }
    if(!used) dis[x]=-1;
    return used;
}

int dinic() {int res=0;while(bfs()) res+=dfs(s,inf);return res;}

void solve() {
    s=n+1,t=n+2;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int u,v,a,b,c;read(u),read(v),read(a),read(b),read(c);
        ans-=(a+c)*2;
        r[s][u]+=c,r[s][v]+=c,r[v][t]+=a,r[u][t]+=a;
        r[u][v]+=a+c-b*2,r[v][u]+=a+c-b*2;
    }
    for(int i=1;i<=t;i++)
        for(int j=1;j<=t;j++)
            if(r[i][j]) ins(i,j,r[i][j]);
    write((-dinic()-ans)/2);
}

void clear() {
    tot=1;ans=0;
    memset(head,0,sizeof head);
    memset(r,0,sizeof r);
}

signed main() {
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF) solve(),clear();
    return 0;
}

1010. Just Skip The Problem

注意到最优一定是一位一位地问有没有，所以方案数直接就是阶乘。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e6+3;

int fac[maxn],n;

int main() {
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<mod;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF) write(n==2?2:(n>=mod?0:fac[n]));
    return 0;
}

1011. Keen On Everything But Triangle

拿主席树维护区间，暴力判断就好了。

因为最劣的情况是构成斐波那契数列，而斐波那契增长是指数级的，所以最多在主席树上询问\(O(\log v)\)次，\(v\)是值域。

复杂度\(O(Tn\log n\log v)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

const int maxn = 2e5+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;
const int N = 1e9;

int n,q,rt[maxn];

struct persistance_segment_tree {
    int ls[maxn*40],rs[maxn*40],s[maxn*40],seg;

    void insert(int &p,int pre,int l,int r,int x) {
        p=++seg;ls[p]=ls[pre],rs[p]=rs[pre],s[p]=s[pre]+1;
        if(l==r) return ;int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid) insert(ls[p],ls[pre],l,mid,x);
        else insert(rs[p],rs[pre],mid+1,r,x);
    }

    int query(int a,int b,int l,int r,int k) {
        if(l==r) return l;int mid=(l+r)>>1;
        if(s[rs[b]]-s[rs[a]]>=k) return query(rs[a],rs[b],mid+1,r,k);
        else return query(ls[a],ls[b],l,mid,k-(s[rs[b]]-s[rs[a]]));
    }

    void clear() {
        for(int i=1;i<=seg;i++) ls[i]=rs[i]=s[i]=0;
        seg=0;
    }
}T;

int find(int l,int r,int x) {return T.query(rt[l-1],rt[r],1,N,x);}

#define ll long long 

void solve() {
    for(int i=1,x;i<=n;i++) read(x),T.insert(rt[i],rt[i-1],1,N,x);
    for(int i=1;i<=q;i++) {
        int l,r;read(l),read(r);
        if(r-l+1<3) {puts("-1");continue;}
        int a=find(l,r,1),b=find(l,r,2),c=find(l,r,3),x=3,bo=0;
        while(1) {
            if(a<b+c) {bo=1;printf("%lld\n",1ll*a+b+c);break;}
            if(x==r-l+1) break;
            a=b,b=c,c=find(l,r,++x);
        }if(!bo) puts("-1");
    }
}

void clear() {
    T.clear();
    for(int i=1;i<=n;i++) rt[i]=0;
}

int main() {
    while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF) solve(),clear();
    return 0;
}

1012. Longest Subarray

考虑排除不合法的情况，在剩下的情况取最大值。

那么对于每种颜色假设数量是\(x\)，那么我们可以得到\(O(x)\)个形如当\(l\)在\(a\sim b\)之间时，\(r\)不能取\(c\sim d​\)的限制条件。

显然这可以转化成一个矩形。

那么直接扫描线就好了，复杂度\(O(Tn\log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

#define iter vector<int > :: iterator

const int maxn = 1e5+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;

int n,c,k,cnt;
vector<int > p[maxn];

struct l {int x,l,r,v;}r[maxn<<3];

void add(int x1,int x2,int y1,int y2) {
    if(x1>x2||y1>y2) return ;
    r[++cnt]=(l){x1,y1,y2,1};
    r[++cnt]=(l){x2+1,y1,y2,-1};
}

int cmp(l x,l y) {return x.x<y.x;}

#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)

struct Segment_Tree {
    int mr[maxn<<2],tag[maxn<<2];

    void build(int p,int l,int r) {
        mr[p]=r;tag[p]=0;
        if(l==r) return ;
        build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
    }

    void update(int p,int l,int r) {
        if(tag[p]) mr[p]=-1;
        else if(mr[rs]!=-1) mr[p]=mr[rs];
        else mr[p]=mr[ls];
    }

    void cover(int p,int l,int r,int x,int y,int v) {
        if(x<=l&&r<=y) {
            tag[p]+=v;
            if(l==r) mr[p]=tag[p]?-1:r;
            else update(p,l,r);
            return ;
        }
        if(x<=mid) cover(ls,l,mid,x,y,v);
        if(y>mid) cover(rs,mid+1,r,x,y,v);
        update(p,l,r);
    }
}T;

void solve() {
    T.build(1,1,n);cnt=0;
    for(int i=1;i<=c;i++) p[i].clear();
    for(int i=1,x;i<=n;i++) read(x),p[x].pb(i);
    for(int i=1;i<=c;i++)
        if(p[i].size()<k) {
            for(iter x=p[i].begin();x!=p[i].end();x++)
                add(1,*x,*x,n);
        } else {
            int sz=p[i].size();
            add(1,p[i][0],p[i][0],p[i][k-1]-1);
            for(int x=0;x<sz-1;x++) add(p[i][x]+1,p[i][x+1],p[i][x+1],x+k>=sz-1?n:p[i][x+k+1]-1);
        }
    sort(r+1,r+cnt+1,cmp);int t=1,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        while(r[t].x==i) T.cover(1,1,n,r[t].l,r[t].r,r[t].v),t++;
        if(T.mr[1]<=i) continue;
        ans=max(ans,T.mr[1]-i+1);
    }write(ans);
}

int main() {
    while(scanf("%d%d%d",&n,&c,&k)!=EOF) solve();
    return 0;
}