蓄水池采样算法

问题描述分析

采样问题经常会被遇到，比如：

从 100000 份调查报告中抽取 1000 份进行统计。
从一本很厚的电话簿中抽取 1000 人进行姓氏统计。
从 Google 搜索 "Ken Thompson"，从中抽取 100 个结果查看哪些是今年的。

这些都是很基本的采用问题。

既然说到采样问题，最重要的就是做到公平，也就是保证每个元素被采样到的概率是相同的。所以可以想到要想实现这样的算法，就需要掷骰子，也就是随机数算法。（这里就不具体讨论随机数算法了，假定我们有了一套很成熟的随机数算法了）

对于第一个问题，还是比较简单，通过算法生成 $[0, 100000 - 1)$ 间的随机数 1000 个，并且保证不重复即可。再取出对应的元素即可。

但是对于第二和第三个问题，就有些不同了，我们不知道数据的整体规模有多大。可能有人会想到，我可以先对数据进行一次遍历，计算出数据的数量 $N$，然后再按照上述的方法进行采样即可。这当然可以，但是并不好，毕竟这可能需要花上很多时间。也可以尝试估算数据的规模，但是这样得到的采样数据分布可能并不平均。

算法过程

终于要讲到蓄水池采样算法（Reservoir Sampling）了。先说一下算法的过程：

假设数据序列的规模为 $n$，需要采样的数量的为 $k$。

首先构建一个可容纳 $k$ 个元素的数组，将序列的前 $k$ 个元素放入数组中。

然后从第 $k+1$ 个元素开始，以 $\frac{k}{n}$ 的概率来决定该元素是否被替换到数组中（数组中的元素被替换的概率是相同的）。当遍历完所有元素之后，数组中剩下的元素即为所需采取的样本。

证明过程

对于第 $i$ 个数（$i \le k$）。在 $k$ 步之前，被选中的概率为 $1$。当走到第 $k + 1$ 步时，被 $k + 1$ 个元素替换的概率 = $k + 1$ 个元素被选中的概率 * $i$ 被选中替换的概率，即为 $\frac{k}{k + 1} \times \frac{1}{k} = \frac{1}{k + 1}$。则被保留的概率为 $1 - \frac{1}{k + 1} = \frac{k}{k + 1}$。依次类推，不被 $k + 2$ 个元素替换的概率为 $1 - \frac{k}{k + 2} \times \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k + 2}$。则运行到第 $n$ 步时，被保留的概率 = 被选中的概率 * 不被替换的概率，即：

\[1 \times \frac{k}{k + 1} \times \frac{k + 1}{k + 2} \times \frac{k + 2}{k + 3} \times … \times \frac{n - 1}{n} = \frac{k}{n}
\]

对于第 $j$ 个数（$j > k$）。在第 $j$ 步被选中的概率为 $\frac{k}{j}$。不被 $j + 1$ 个元素替换的概率为 $1 - \frac{k}{j + 1} \times \frac{1}{k} = \frac{j}{j + 1}$。则运行到第 $n$ 步时，被保留的概率 = 被选中的概率 * 不被替换的概率，即：

\[\frac{k}{j} \times \frac{j}{j + 1} \times \frac{j + 1}{j + 2} \times \frac{j + 2}{j + 3} \times ... \times \frac{n - 1}{n} = \frac{k}{n}
\]

所以对于其中每个元素，被保留的概率都为 $\frac{k}{n}$.

代码示例

贴出测试用的示例代码（Java 实现）：

public class ReservoirSamplingTest {

    private int[] pool; // 所有数据

    private final int N = 100000; // 数据规模

    private Random random = new Random();

    @Before

    public void setUp() throws Exception {

        // 初始化

        pool = new int[N];

        for (int i = 0; i < N; i++) {

            pool[i] = i;

        }

    }

    private int[] sampling(int K) {

        int[] result = new int[K];

        for (int i = 0; i < K; i++) { // 前 K 个元素直接放入数组中

            result[i] = pool[i];

        }

        for (int i = K; i < N; i++) { // K + 1 个元素开始进行概率采样

            int r = random.nextInt(i + 1);

            if (r < K) {

                result[r] = pool[i];

            }

        }

        return result;

    }

    @Test

    public void test() throws Exception {

        for (int i : sampling(100)) {

            System.out.println(i);

        }

    }

}

结果就不贴出来了，毕竟每次运行结果都不一样。

总结

蓄水池算法适用于对一个不清楚规模的数据集进行采样。以前在某个地方看到过一个面试题，说是从一个字符流中进行采样，最后保留 10 个字符，而并不知道这个流什么时候结束，且须保证每个字符被采样到的几率相同。用的就是这个算法。

在高德纳的 TAOCP 中有对于这个算法的描述，可以说这是个很精巧的算法。在看到这个算法实现前，很难想到可以通过这样的一种方式进行采样。