队列理论和队列网络模型 queueing theory and queueing network model

1队列理论

1.1队列在生活中随处可见，例如排队买票，排队打饭，排队做地铁等等。那将诸如此类的队列抽象一下，可归纳为一下5要术：

• 到达过程arrival process
• 服务时间的分布 service time distrubution
• 服务器数量 number of server
• 等待的位置 waiting positions
• 总排队人数 population size

1.2根据kendall notation标记法，可根据队列的几要素将其分类

• A:Arrival process 到达率的分布
• S:Service time disribution 服务时间的分布
• m:Number of server 服务器的数量
• B:Number of buffers (system capacity)系统容量
• K:Population size 排队的总人数
• SD:Service discipline 服务规则

第一部分Arrival process分类依据有以下几点：

Arrival times:t1,t2,...tj

Interarrival times:Tj=tj-t(j-1)

时间间隔Interarrival times形成了Independed and Identically Distribution （IID）随机变量序列

Notaion 包含以下几种：(以下数学分布有兴趣可自进一步深入了解)

• M=memoryless ~ Exponential 指数分布
• E=Erlang
• H=Hyper-exponential 超指数分布
• D=Deterministic ~constant 定量的常量分布
• G=General~ Results valid for all distributions 一般的分布，可以是M E H 外的任何分布

第二部分Service Time Distribution (Service Time Distribution跟Arrival Process 类似)

• Service time are IID（到达的时间间隔正好是服务时间）
• Distribution: M E H D or G
• Device=Service center=Queue(？)
• Buffer=Waitting postions(前面解释B（number of buffer）表示系统容量，两者有何关系）

第三部分service discipline服务规则

• First-Come-First-Served(FCFS)
• Last-Come-First-Served(LCFS)

以下图形是队列中的基本概念，在后续的queueing network model中需要的输入参数基本都在其中。

1.3队列满足的规则rules for all queues

• 队列稳定的条件一般而言，到达率必须小于服务率
• 系统中的数量n=nq+ns

(自己的理解：

Momeryless 也称为Markov分布，是研究最多最成熟的一种。其特点是到达的人数呈指数分布exponential distribution，而到达人数的间隔呈泊松分布possion distribution

dterminal 指定数量的到达率，不一定成分布

general 呈普通类型的分布，例如20%的人每隔10分钟来一个，其余的每隔30分钟来一个，局部呈现某种规律

另外需要补充的一点是服务规则，例如常规的先来先服务，或者其他的后来先服务，或者是像银行一样的有一定的VIP等级，特定的人群可以优先。)

2操作定律 optional law

操作定律主要是根据已有的参数已经参数之间的关系根据数学公式推导出其他的，用于间接计算或者是推理

force  float law

equation law   到达率=吞吐量

3队列网络模型(当存在分发Despatch的时候就从队列变成了队列网络)

首先区分下几个关键概念

station跟 server center的概念，station表示服务器之间不存在路由的概念，当有人来时，假设有多个服务器，那么这个人将会被安排带闲的那台服务器。

service demand 完成整个任务需要的占用的服务器的时间

3.1 single class station

open

close

3.2 muti class station

多类request的时候存在路由的概念。

4马尔科夫链Markov chain

Markov两个重要的特点是：1当前状态 2状态转移   当然建立在一个假设和一个前提下。假设：下一个状态只依赖于当前状态跟前面的状态没有关系。前提是分为离散型Markov和连续型

4.1离散型Markov

分为 absorb类型（从任意状态出发最终会归属到某一方而停止）和birth and death 类型（从任何一个状态经过N次转移后都可以转移到任何另外一个地方）

5用Octave实现相应的数学计算

首先引入包：pkg load queueing

然后根据文档了解每个公式的适应情景进行计算

6容量规划