最短路径--SPFA 算法

适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止

期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

实现方法：

　　建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

判断有无负环：
　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

首先建立起始点a到其余各点的
最短路径表格

首先源点a入队，当队列非空时：
　１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：

在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点
需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d

队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要
入队，此时队列中的元素为c，d，e

队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此
e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f

队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g

队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e

队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b
队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b

队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了

最终a到g的最短路径为14

SPFA优化算法：

/*

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) [图的存储方式为邻接表]

是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。

算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，

并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。

它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。

SPFA 在形式上和BFS非常类似，不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中

一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本

身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。

SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL：

SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，

否则插入队尾。

LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入

到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。

引用网上资料，SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。

在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。

*/

 //用数组实现邻接表存储，pnt[i,0]表示与i相邻的结点个数，pnt[i,1...k]存储与i相邻的点
 int  pnt[MAXN][MAXN];
 int  map[MAXN][MAXN]; //map[i,j]为初始输入的i到j的距离，并且map[i,i]=0;未知的map[i,j]=INF;
 int  dis[MAXN];
 char vst[MAXN]; 

 int SPFA(int n,int s)
 {
     int i, pri, end, p, t;
     memset(vst, , sizeof(vst));
     for (i=; i<=n; i++)
         dis[i] = INF;
     dis[s] = ;
     vst[s] = ;
     Q[] = s; pri = ; end = ;
     while (pri < end)
     {
         p = Q[pri];
         for (i=; i<=pnt[p][]; i++)
         {
             t = pnt[p][i];
             //先释放，释放成功后再判断是否要加入队列
             if (dis[p]+map[p][t] < dis[t])
             {
                 dis[t] = dis[p]+map[p][t];
                 if (!vst[t])
                 {
                     Q[end++] = t;
                     vst[t] = ;
                 }
             }
         }
         vst[p] = ;
         pri++;
     }
     return ;
 } 

 正规邻接表存储：
 /* ------- 邻接表存储 ----------- */
 struct Edge
 {
     int e;  //终点
     int v;  //边权
     struct Edge *nxt;
 };
 struct
 {
     struct Edge *head, *last;
 } node[MAXN];
 /* -------------------------------- */ 

 /*  添加有向边<起点,终点,边权>  */
 void add(int s,int e,int v)
 {
     struct Edge *p;
     p = (struct Edge*)malloc(sizeof(struct Edge));
     p->e = e;
     p->v = v;
     p->nxt = NULL;
     if (node[s].head == NULL)
     {
         node[s].head = p;
         node[s].last = p;
     }
     else
     {
         node[s].last->nxt = p;
         node[s].last = p;
     }
 } 

 /*  松弛，成功返回1，否则0  */
 int relax(int s,int e,int v)
 {
     if (dis[s]+v < dis[e])
     {
         dis[e] = dis[s]+v;
         return ;
     }
     return ;
 } 

 /*  SPFA有负权回路返回0,否则返回1并且最短路径保存在dis[]  */
 int n;
 int vst[MAXN], cnt[MAXN];
 int Q[MAXN*MAXN];
 int SPFA(int s0)
 {
     int i, p, q;
     struct Edge *pp; 

     memset(vst, , sizeof(vst));
     memset(cnt, , sizeof(cnt));
     for (i=; i<=n; i++)
         dis[i] = INF;
     dis[s0] = ; 

     Q[] = s0; p = ; q = ;
     vst[s0] = ;
     cnt[s0]++;
     while (p < q)
     {
         pp = node[Q[p]].head;
         while (pp)
         {
             if (relax(Q[p], pp->e, pp->v) && !vst[pp->e])
             {
                 Q[q++] = pp->e;
                 vst[pp->e] = ;
                 cnt[pp->e]++;
                 if (cnt[pp->e] > n) //有负权回路
                     return ;
             }
             pp = pp->nxt;
         }
         vst[Q[p]] = ;
         p++;
     }
     return ;
 }

 /**通过poj 3159 证明：还是用数组来实现邻接表比用链表来实现邻接表效率高，  **/ 

 #define MAX_node 10000
 #define MAX_edge 100000 

 struct Edge
 {
     int e, v;
 } edge[MAX_edge]; 

 int neg;    //number of edge
 int node[MAX_node];  //注意node要用memset初始化全部为-1
 int next[MAX_edge]; 

 void add(int s,int e,int v)
 {
     edge[neg].e = e;
     edge[neg].v = v;
     next[neg] = node[s];
     node[s] = neg++;
 }
 /*  该题还证明用栈来实现SPFA比用队列来实现效率高，还节约空间 */
 int SPFA(int s0)//栈实现
 {
     int i, t, p, top; 

     memset(vst, , sizeof(vst));
     for (i=; i<=n; i++)
         dis[i] = INF;
     dis[s0] = ; 

     Q[] = s0;
     top = ;
     vst[s0] = ;
     while (top)
     {
         t = Q[--top];
         vst[t] = ;
         p = node[t];
         while (p != -)
         {
             if (relax(t, edge[p].e, edge[p].v) && !vst[edge[p].e])
             {
                 Q[top++] = edge[p].e;
                 vst[edge[p].e] = ;
             }
             p = next[p];
         }
     }
     return ;
 }