设最大权值为\(M\)

\(T=\sqrt M\)

定理

任意一个\(\le M\)的数一定可以表示为abc三个数的乘积

满足这三个数要么\(\le T\),要么是一个质数

证明:

考虑反证

假设\(a>b>c\),满足\(a>T\)且\(a\)不为素数

因为\(a>T\)且\(abc\le M\),则有\(bc\le T\)

我们设\(a=x*y\),一定不可能x,y均\(\ge T\)

假设\(x>y\),则\(y \le T\)

则原数可表示为\(x,y,bc\)三数乘积

若此时x仍不满足两条件之一,继续分解,最后定能满足

预处理O(n)

  1. 线性筛,求出每个数的最小质因子

  2. 预处理每个数能分解成哪三个数

    对于x,其最小质因数为p

    则x的分解先复制\(x/p\)的分解

    设为a,b,c

    若\(a*p\le T\)则\(a*=p\)

    若\(b*p\le T\)则\(b*=p\)

    否则\(c*=p\)

    正确性证明:

    不难发现若\(p\ge T\)则x为素数且x=p

    而对于x为素数的,\(x/p=1\)显然正确,不用考虑

    那么此时\(p\le T\)

    若a,b,c其一为1,显然正确,不用考虑

    此时有\(a*p,b*p,c*p\)均为合数

    所以:现在要证明的是\(a,b,c\)中至少有一个数乘\(p\)后\(\le T\)

    就是证明\(a,b,c\)中不会出现每一个数乘\(p\)都\(\ge T\)

    反证:

    根据条件有\(a,b,c>\frac T p\)

    设\(x/p\)的最小质因数为w,则\(w\ge p\)

    依此类推\(a,b,c\ge p\)

    ①\(p< \sqrt T\),此时\(a,b,c>\sqrt T\)

    \(pabc>\frac {T^3} {p^2}>{T^2}=M\)

    说明原数在权值范围M之外,矛盾

    ②\(p\ge \sqrt T\),

    此时\(pabc>p^4>T^2=M\)

  3. 预处理T以内两两数的gcd

    可以递推,像辗转相除,g[x][y]=g[y][x%y]

Code

void init_gcd(){
notprime[1]=1;
int i,j,d;
for(i=2;i<N;i++){
if(!notprime[i]){
prime[++cnt]=i;
p[i]=i;
}
for(j=1;j<=cnt;j++){
if((LL)prime[j]*i>=N) break;
d=prime[j]*i;
notprime[d]=1;
p[d]=prime[j];
if(i%prime[j]==0) break;
}
} split[1][0]=split[1][1]=split[1][2]=1;
for(i=2;i<N;i++){
memcpy(split[i],split[i/p[i]],sizeof(split[i/p[i]]));
if(split[i][0]*p[i]<=sn) split[i][0]*=p[i];
else if(split[i][1]*p[i]<=sn) split[i][1]*=p[i];
else split[i][2]*=p[i];
} // gcd(0,0)=0 , gcd(0,x)=x
for(i=0;i<=sn;i++)
for(j=0;j<=i;j++){
if(!i||!j) g[i][j]=i|j;
else g[i][j]=g[j][i]=g[j][i%j];//j<=i
}
}

求两数gcd O(1)

int gcd(int x,int y){
int ans=1,i,d;
for(i=0;i<3;i++){
if(split[x][i]<=sn) d=g[split[x][i]][y%split[x][i]];
else d=(y%split[x][i]==0)?split[x][i]:1;
ans*=d;
y/=d;//避免算重
}
return ans;
}

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