【bzoj2795】[Poi2012]A Horrible Poem Hash+分解质因数

题目描述

给出一个由小写英文字母组成的字符串S，再给出q个询问，要求回答S某个子串的最短循环节。
如果字符串B是字符串A的循环节，那么A可以由B重复若干次得到。

输入

第一行一个正整数n (n<=500,000)，表示S的长度。
第二行n个小写英文字母，表示字符串S。
第三行一个正整数q (q<=2,000,000)，表示询问个数。
下面q行每行两个正整数a,b (1<=a<=b<=n)，表示询问字符串S[a..b]的最短循环节长度。

输出

依次输出q行正整数，第i行的正整数对应第i个询问的答案。

样例输入

8
aaabcabc
3
1 3
3 8
4 8

样例输出

1
3
5

---

题解

Hash+分解质因数

考虑如何求出一个字符串的最短循环节？使用KMP求出next数组，n-next[n]即为最短循环节。

那么考虑本题，判断一个长度是否为循环节，只需要判断前后字符串是否相等即可，可以使用Hash解决。

因为循环节长度一定是字符串长度的约数，由于一个数的约数最多只有$2\sqrt n$个，因此可以枚举约数然后判断，时间复杂度$O(q\sqrt n)$

考虑优化这个过程：如果$i$是循环节，那么$ki\ (ki|len)$也一定是循环节。所以我们可以对于串长的每个质因子，求出它在最短循环节中的指数次数。具体实现即对于现有循环节，判断除以质因子后是否还是循环节，如果是则除，不是则不变。

而分解质因数是可以通过线性筛做到线性预处理$O(\log n)$查询的，故总时间复杂度为$O(n+q\log n)$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 500010
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base[N] , hash[N];
int lp[N] , prime[N] , tot , np[N];
char str[N];
bool judge(int l , int r , int len)
{
	return hash[l + len - 1] - hash[l - 1] * base[len] == hash[r] - hash[r - len] * base[len];
}
int main()
{
	int n , i , j , m , l , r , v , now;
	scanf("%d%s%d" , &n , str + 1 , &m);
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
	{
		if(!np[i]) lp[i] = i , prime[++tot] = i;
		for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= n ; j ++ )
		{
			np[i * prime[j]] = 1 , lp[i * prime[j]] = prime[j];
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
	base[0] = 1;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) base[i] = base[i - 1] * 2333 , hash[i] = hash[i - 1] * 2333 + str[i];
	while(m -- )
	{
		scanf("%d%d" , &l , &r) , now = v = r - l + 1;
		while(v != 1)
		{
			if(judge(l , r , r - l + 1 - now / lp[v])) now /= lp[v];
			v /= lp[v];
		}
		printf("%d\n" , now);
	}
	return 0;
}