O(n log log n)实现FGT和FLT(Fast GCD/LCM Transformation)

本文是作者看不懂分治FFT之后开始娱乐一下自己写的

看到一道题时候询问了正解后，推出了一个奇怪的变换，发现这个很Transformation，我和正解推出来的奇怪的东西是一样的，但还是想写一下思路。。。

(希望原题作者不要来D我啊）

min卷积和max卷积

考虑两个卷积

\(C_{min(i,j)} = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} A_{i}B_{j}\)

\(C_{max(i,j)} = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} A_{i}B_{j}\)

普通的卷积，即我们对下标进行加法操作后，将两个数的乘积加到该下标，在这里对下标的操作即使取min和取max

和暴力卷积一样，这两个卷积是可以暴力\(n^2\)出解的，但是有没有更优秀的做法呢

一种变换的出现，往往都是要把卷积变成点积，再用点积反解多项式的系数

例如FFT是插入函数值，利用两个函数相乘的结果，某个x坐标上的值即对应两个函数值的乘积，再利用单位根的特殊性质将系数解出来

例如FWT的异或卷积，我们要达成的成就就是\(tf(A)* tf(B) = tf(C)\)，按最高位是0或1来分组，那么就是\(C = (A_{0}*B_{0} + A_{1}*B_{1},A_{0} * B_{1} + A_{1} * B_{0})\)，按照点积等于卷积后的答案，构造两个乘法使得可以得到其中的每一项，即为\((A_{0} + A_{1})(B_{0} + B_{1}) = A_{0}B_{0} + A_{0}B_{1} + A_{1}B_{0} + A_{1}B_{1}\)和\((A_{0} - A_{1})(B_{0} - B_{1}) = A_{0}B_{0} - A_{1}B_{0} - A_{0}B_{1} + A_{1}B_{1}\)

两项相加除二即为前半段，相减除二即为后半段，两个变换即为\((tf(A_{0}) + tf(A_{1}),tf(A_{0}) - tf(A_{1}))\)复杂度\(O(n \log n)\)由于\(n\)往往是\(2^{k}\)所以复杂度会被写成\(O(2^{k}k)\)

所以我们尝试把这个卷积进行同样的操作

（然而很多变换的方式都是不知道为啥试出来的）

对于min卷积

我们考虑变换\(C(i)\)为\(SC(i)\),\(SC(i)\)表示\(x>=i\)的\(C(x)\)的和，\(SA(i)\)与\(SB(i)\)同理

然后即可发现\(SA(i) * SB(i) = SC(i)\)，最后差分即可还原C数组，复杂度做到了\(O(n)\)

对于max卷积

我们考虑变换\(C(i)\)为\(SC(i)\),\(SC(i)\)表示\(x<=i\)的\(C(x)\)的和，\(SA(i)\)与\(SB(i)\)同理

然后即可发现\(SA(i) * SB(i) = SC(i)\)，最后差分即可还原C数组，复杂度做到了\(O(n)\)

数组的标准分解意义下多维后缀/前缀和

我们如果把一个数的标准分解(即质因数分解)作为这个数的坐标，例如

\(p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_2}p_{3}^{k_{3}}...p_{n}^{k_{n}}\)

每个数即可看做一个无穷维度里，每一个维度的下标为该质因数的指数的一个坐标

数组的多维前缀和即

\(f(n) = \sum_{d|n}a(d)\)

数组的多维后缀和即

\(f(n) = \sum_{n|d}a(d)\)

朴素的做法可以达到\(O(n \log n)\)，可以过很多题目了，即对于一个数枚举它的倍数（用调和级数算复杂度也是一个重要的技巧）

我们考虑如何将这个算法优化到\(O(n \log \log n)\)

我们以前缀和为例，从最小的质因子2开始，固定其他所有质数的指数，开始考虑以下这个过程

1:a(1)

2:a(2)

3:a(3)

4:a(4)

5:a(5)

6:a(6)

7:a(7)

8:a(8)

9:a(9)

10:a(10)

初始化即每个数组位置存储对应的a(i)

第一次操作2,从后往前扫，我们对每个2的倍数进行累加，具体看下面

1:a(1)

2:a(2) a(1)

3:a(3)

4:a(4) a(2) a(1)

5:a(5)

6:a(6) a(3)

7:a(7)

8:a(8) a(4) a(2) a(1)

9:a(9)

10:a(10) a(5)

第二次操作3

1:a(1)

2:a(2) a(1)

3:a(3) a(1)

4:a(4) a(2) a(1)

5:a(5)

6:a(6) a(3) a(2) a(1)

7:a(7)

8:a(8) a(4) a(2) a(1)

9:a(9) a(3) a(1)

10:a(10) a(5)

第三次操作5

1:a(1)

2:a(2) a(1)

3:a(3) a(1)

4:a(4) a(2) a(1)

5:a(5) a(1)

6:a(6) a(3) a(2) a(1)

7:a(7)

8:a(8) a(4) a(2) a(1)

9:a(9) a(3) a(1)

10:a(10) a(5) a(2) a(1)

第四次操作7

1:a(1)

2:a(2) a(1)

3:a(3) a(1)

4:a(4) a(2) a(1)

5:a(5) a(1)

6:a(6) a(3) a(2) a(1)

7:a(7) a(1)

8:a(8) a(4) a(2) a(1)

9:a(9) a(3) a(1)

10:a(10) a(5) a(2) a(1)

下一个质数是11，已经超出了范围，所以操作完成了，至此，我们已经完成了数组的多维前缀和

下面以相同的例子理解数组的多维后缀和

第一次操作2，从后往前扫

1:a(1) a(2) a(4) a(8)

2:a(2) a(4) a(8)

3:a(3) a(6)

4:a(4) a(8)

5:a(5) a(10)

6:a(6)

7:a(7)

8:a(8)

9:a(9)

10:a(10)

第二次操作3

1:a(1) a(2) a(4) a(8) a(3) a(6) a(9)

2:a(2) a(4) a(8) a(6)

3:a(3) a(6) a(9)

4:a(4) a(8)

5:a(5) a(10)

6:a(6)

7:a(7)

8:a(8)

9:a(9)

10:a(10)

第三次操作5

1:a(1) a(2) a(4) a(8) a(3) a(6) a(9) a(5) a(10)

2:a(2) a(4) a(8) a(6) a(10)

3:a(3) a(6) a(9)

4:a(4) a(8)

5:a(5) a(10)

6:a(6)

7:a(7)

8:a(8)

9:a(9)

10:a(10)

第四次操作7

1:a(1) a(2) a(4) a(8) a(3) a(6) a(9) a(5) a(10) a(7)

2:a(2) a(4) a(8) a(6) a(10)

3:a(3) a(6) a(9)

4:a(4) a(8)

5:a(5) a(10)

6:a(6)

7:a(7)

8:a(8)

9:a(9)

10:a(10)

由于对每个质数枚举倍数（根据埃拉托斯特尼筛法的复杂度）是\(O(n \log \log n)\)的

所以求数组的标准分解意义下的多维前缀和，后缀和可以做到\(O(n \log \log n)\)

Fast GCD Transformation 快速最大公约数变换

由于两个数的GCD，即为两个数标准分解下的每个质因数质数取min，即为

\(p_{1}^{min(a_{1},b_{1}}p_{2}^{min(a_{2},b_{2})}...p_{k}^{min(a_{k},b_{k})}\)

类似min卷积，将数组处理成多维后缀和，即为正变换

考虑如何将变换后的结果还原回去

sc数组中点积相乘的结果即为

1:c(1) c(2) c(3) c(4) c(5) c(6) c(7) c(8) c(9) c(10)

2:c(2) c(4) c(6) c(8) c(10)

3:c(3) c(6) c(9)

4:c(4) c(8)

5:c(5) c(10)

6:c(6)

7:c(7)

8:c(8)

9:c(9)

10:c(10)

考虑如何将他们变换回去，我们发现可以采取我们累加后缀和的步骤反序进行

即，从大到小枚举质数，从前往后枚举下标

第一次枚举7

sc数组中点积相乘的结果即为

1:c(1) c(2) c(3) c(4) c(5) c(6) c(8) c(9) c(10)

2:c(2) c(4) c(6) c(8) c(10)

3:c(3) c(6) c(9)

4:c(4) c(8)

5:c(5) c(10)

6:c(6)

7:c(7)

8:c(8)

9:c(9)

10:c(10)

第二次枚举5

1:c(1) c(2) c(3) c(4) c(6) c(8) c(9)

2:c(2) c(4) c(6) c(8)

3:c(3) c(6) c(9)

4:c(4) c(8)

5:c(5) c(10)

6:c(6)

7:c(7)

8:c(8)

9:c(9)

10:c(10)

第三次枚举3

1:c(1) c(2) c(4) c(8)

2:c(2) c(4) c(8)

3:c(3) c(6)

4:c(4) c(8)

5:c(5) c(10)

6:c(6)

7:c(7)

8:c(8)

9:c(9)

10:c(10)

第四次枚举2

1:c(1)

2:c(2)

3:c(3)

4:c(4)

5:c(5)

6:c(6)

7:c(7)

8:c(8)

9:c(9)

10:c(10)

复杂度同样为\(O(n \log \log n)\)，同时我们可以发现，数组标准分解意义下的多维后缀差分即使前缀和的逆步骤

同时，如果了解莫比乌斯反演，会列出等式

\(sc(n) = \sum_{n|d}c(d)\)

\(c(n) = \sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})sc(d)\)

即，该差分本质上是对\(sc(i)\)进行莫比乌斯反演，我们又得到了一种\(O(n \log \log n)\)求解莫比乌斯反演的办法，而并非\(O(n \log n)\)

Fast LCM Transformation 快速最小公倍数变换

我们发现LCM即对两个下标标准分解的每个质因数取max，即

\(p_{1}^{max(a_{1},b_{1})}p_{2}^{max(a_{2},b_{2})}...p_{k}^{max(a_{k},b_{k})}\)

但是由于LCM的性质，我们下标的范围会达到\(n^{2}\)，比暴力好不到哪里，所以讨论起来就没有太多意义

如果我们强制限定长度在N范围内，即变换成数组标准分解的多维前缀和，最后多维前缀差分还原回去，类似FGT

FGT的代码

for(int i = 1 ; i <= tot ; ++i) {
    for(int j = N / prime[i] ; j >= 1 ; --j) {
        a[j] += a[j * prime[i]];
        b[j] += b[j * prime[i]];
    }
}
for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) {
    c[i] = a[i] * b[i];
}
for(int i = tot ; i >= 1 ; --i) {
    for(int j = 1 ; j <= N / prime[i] ; ++j) {
        c[j] -= c[j * prime[i]];
    }
}