【bzoj2693】jzptab 莫比乌斯反演+线性筛

题目描述

输入

一个正整数T表示数据组数

接下来T行 每行两个正整数 表示N、M

输出

T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果

样例输入

1
4 5

样例输出

122

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题解

莫比乌斯反演+线性筛

由于要处理多组询问，所以 bzoj2154 的做法就不好用了，但是这个结论可以套用过来。

然后推公式：

（UPD：上面公式最后一行请自行把 $k$ 改成 $n$ ... 由于这里是图片形式就不改了）

设f1(n)=n²mu(n)，f2(n)=n，则显然f2是积性函数，f1为两个积性函数的乘积，也是积性函数。

那么f为f1和f2的狄利克雷卷积，也是积性函数。

所以可以尝试快筛f(n)。

当n为质数时，显然f(n)=n-n^2。

当n不为质数时，即n=i*p，p|i，p是质数，那么观察f(n)化简之后的式子，n新增加出来的约数一定是包含p^2的，它的mu值一定是0，所以f(n)的改变只是从i*...变为了n*...，所以此时f(n)=f(i)*p。

这样我们就可以快筛出f函数及其前缀和，然后对于每个询问分块求解即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mod 100000009
using namespace std;
const int n = 10000000;
typedef long long ll;
int prime[n + 10] , tot;
ll g[n + 10] , sum[n + 10];
bool np[n + 10];
ll s(int x)
{
	return (ll)x * (x + 1) / 2 % mod;
}
ll cal(ll a , ll b)
{
	int i , last;
	ll ans = 0;
	for(i = 1 ; i <= a && i <= b ; i = last + 1) last = min(a / (a / i) , b / (b / i)) , ans = (ans + (sum[last] - sum[i - 1] + mod) % mod * s(a / i) % mod * s(b / i) % mod) % mod;
	return ans;
}
int main()
{
	int i , j , T , a , b;
	g[1] = sum[1] = 1;
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
	{
		if(!np[i]) g[i] = ((i - (ll)i * i) % mod + mod) % mod , prime[++tot] = i;
		for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= n ; j ++ )
		{
			np[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				g[i * prime[j]] = g[i] * prime[j] % mod;
				break;
			}
			else g[i * prime[j]] = g[i] * g[prime[j]] % mod;
		}
		sum[i] = (sum[i - 1] + g[i]) % mod;
	}
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- ) scanf("%d%d" , &a , &b) , printf("%lld\n" , cal(a , b));
	return 0;
}