一个特殊情形的Mittag-Leffler分解

Mittag-Leffler分解定理的证明有多种，比如可以利用一维$\overline{\partial}$的解来构造相应的函数，还可以利用极点主部的Taylor多项式来进行修正使得$\sum(g_{n}-P_{n})$在$\mathbb C$上一致收敛来构造函数.

这里要说一下,因为上述级数是一个亚纯函数的级数，是有极点的.所以这里在$K$的收敛，均是指级数$\sum(g_{n}-P_{n})$仅有有限项在$K$中有极点,同时去掉这些项以后所得新的级数收敛.但是无论是哪一种证明，都无法给出函数的具体形式或者具体操作的时候很复杂,都是一种存在性的证明。而如果是下面的情形,那么我们可以给出$f$的具体表达式：

设$f$是$\mathbb C$上的亚纯函数,其极点集为$\{a_{n}\neq0\},n\in\mathbb N$并且每个极点的阶数都是$1$,记$c_{n}=\mathrm{Res}(f,a_{n})$.如果存在一个正则曲线列$\{\gamma_{n}\},n\in\mathbb N$使得$f$在$\bigcup_{n=1}^{\infty}\gamma_{n}$上有界,则$f$有极点分解$$f(z)=f(0)+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\left(\frac{1}{z-a_{n}}+\frac{1}{a_n}\right)$$

并且右端级数在前文提及的收敛定义下,在$\mathbb C$中内闭一致收敛(即在$\mathbb C\setminus\{a_{n}:n\in\mathbb N\}$上内闭一致收敛).